10.1.2 两角和与差的正弦（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10.1.2　两角和与差的正弦 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系． 2.掌握两角和与差的正弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换． 重点 难点 重点：两角和与差的正弦公式的应用. 难点：两角和与差的正弦、余弦公式的灵活应用. 1．两角和与差的正弦公式的应用 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正弦 sin(α＋β)＝_________________________ S(α＋β) α，β∈R 两角差 的正弦 sin(α－β)＝_________________________ S(α－β) α，β∈R sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 两角和与差的正弦公式的结构特征 (1)公式中的角α，β都是任意角． (2)一般情况下，两角和与差的正弦不能按分配律展开，即sin (α±β)≠sin α±sin β. (3)注意公式的逆向运用和变形运用． ①公式的逆用：如sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α. ②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面， 一个是公式本身的变形运用，如sin(α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β； 一个是角的变形运用，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 答案：A 3．sin(30°＋45°)＝________. 解决给角化简与求值问题的思路 (1)化简．三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦． (2)求值．运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形式：一是将非特殊角转化为特殊角的三角函数；二是逆用公式凑成特殊角求值；三是进行拆角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致.　　 1．解给值求值问题的思路及常用变换 解决给值求值型问题的一般思路：观察公式中的量，确定哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的终边所在的象限确定符号． 2．解决给值(式)求角问题的方法 17 对形如sin α±cos α，sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊角的关系，运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式，即y＝Asin(ωx＋φ)的形式．　　 [典例]　已知3sin β＝sin(2α＋β)，求证tan(α＋β)＝2tan α. [证明]　由已知得 3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝2tan α. 解决有关的证明问题，首先需仔细审视等号两边式子的结构特征(函数名及角之间的关系)，确定证明的方向，然后利用公式证明．　　 一、在典题训练中内化学科素养 两角和与差的正弦、余弦公式是高考的必考内容，综合考查学生灵活运用公式化简、变形、求值的能力，体现数学运算、逻辑推理的核心素养． 数学运算 应用三角公式对三角函数式进行变形，要找出条件与结论的相异点，从而选择公式和方法进行转换 逻辑推理 利用特殊值构造函数，由条件推出结论 注重实践应用 3．图1是第七届国际数学教育大会(ICME­7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图2)，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则sin∠A6OA8＝ (　　) “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价(十二) (单击进入电子文档) 41 2．辅助角公式 f(x)＝asin x＋bcos x＝_______sin(x＋φ)(a，b不同时为0)，其中cos φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)) . 1．sin 72°cos 63°＋cos 72°sin 63°的值为 (　　) A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(2),2) 答案：D 2．sin 53°cos 23°－cos 53°sin 23°等于 (　　) A．eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2) 答案：eq \f(\r(2)＋\r(6),4) ———————eq \a\vs4\al([题点一])