10.1.1 两角和与差的余弦（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10.1.1　两角和与差的余弦 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义． 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系． 重点 难点 重点：能利用两角和与差的余弦公式进行求值、计算． 难点：理解用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式的过程及两角和与差的余弦公式的意义. 两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝_________________________ α，β∈R 两角差 的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝_________________________ α，β∈R cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β 两角和与差的余弦公式的结构特征 (1) (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合． (3)cos(α－β)＝cos α－cos β一般不成立，但在特殊情况下也可能成立，例如：当α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos 0°－cos 60°. (4)要掌握公式的逆用，如cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. 解析：原式＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 答案：C 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形用公式．　　 [对点训练] 1．若a＝(cos 100°，sin 100°)，b＝(cos 10°，sin 10°)，则a·b ＝ (　　) A．cos 110°　　 B．sin 110° C．1 D．0 解析：a·b＝cos 100°cos 10°＋sin 100°sin 10°＝cos(100°－10°)＝cos 90°＝0. 答案：D 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．　　 一、在典题训练中内化学科素养 两角和与差的余弦公式在高考中出现的频率比较高，单独考查时，多为三角函数式的求值，一般在选择题或填空题中出现；与其他知识综合考查时，多作为研究三角函数性质的载体，一般以解答题的形式出现．主要考查数学运算、逻辑推理等核心素养． 利用两角和与差的余弦公式求值，注意公式的逆用及拆角配角．　　 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．在△ABC中，sin Asin C<cos Acos C，则△ABC一定是　 (　　) A．锐角三角形　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：因为sin Asin C<cos Acos C，所以cos Acos C－sin Asin C>0，即cos(A＋C)>0，所以cos B<0，即B为钝角． 答案：C 注重实践应用 2．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α＝ (　　) A．±4　　　 B．4 C．－4 D．1 答案：C “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价(十一) (单击进入电子文档) 36 1．cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝ (　　) A．－eq \f(1,2)　　 B．eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2) 解析：cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos(72°－12°)＝cos 60°＝eq \f(1,2). 答案：B 2．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于 (　　) A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．0 D．1 3．cos 105°等于________． 答案： 4．如图，在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴交于点P0，以Ox为始边分别作出角α，β，α－β，它们的终边分别和单位圆交于点P1，P2，P3.由|eq \o(P0P3,\s\up17(―→))|＝|eq \o(P2P1,\s\up17(―→))|，你能推导出两角差的余弦公式吗？ 解：能．该问题实际上给出了用距离公式推导C(α－β)的方法．推导过程如下： 易知P0(1,0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)， P