第10章 三角恒等变换 章末小结与质量评价（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

1 　　一、系统认知·形成数学思维　 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．在三角函数的求值中，常用方程思想求解某个函数的函数值，再代入求解其他值．在三角函数求最值过程中，常用函数思想将三角函数转化为其他函数，借助函数性质求解． 2．在三角函数求值、化简和证明中，常用一些方法技巧，如化异角为同角，化异名为同名，化未知角为已知角、化高次为底次(或平方去掉无理式)、化特殊为一般等，都体现了化归与转化思想． 3．在三角运算中，有关三角函数值符号的确定常常需要分类讨论，体现了分类与整合的思想． 　　　　二、把握重点·常考题型集训 题型一　三角函数求值　 1．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝ (　　) 三角函数求值主要有三种类型 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．　　 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．　　 阶段综合检测（二） 三角恒等变换 (单击进入电子文档) 25 A．eq \f(\r(5),3) B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,3) D．eq \f(\r(5),9) 解析：∵3cos 2α－8cos α＝5， ∴3(2cos2α－1)－8cos α＝5， 即3cos2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－eq \f(2,3)或cos α＝2(舍去)． ∵α∈(0，π)，∴sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(\r(5),3).故选A. 答案：A 2．若tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(10,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值为 (　　) A．－eq \f(\r(2),10) B．eq \f(\r(2),10) C．eq \f(3\r(2),10) D．eq \f(7\r(2),10) 解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tan α＞1， ∴由tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(10,3)，解得tan α＝3. ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)sin 2α＋eq \f(\r(2),2)cos 2α ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(2sin αcos α＋cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α) ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(2tan α＋1－tan2α,1＋tan2α)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(－2,1＋9)＝－eq \f(\r(2),10). 答案：A 3. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(5)－1,2).根据这些信息，可得sin 234°＝ (　　) A．eq \f(1－2\r(5),4) B．－eq \f(3＋\r(5),8) C．－eq \f(\r(5)＋1,4) D．－eq \f(4＋\r(5),8) 解析：由题图可知，∠ACB＝72°， 且cos 72°＝eq \f(\f(1,2)BC,AC)＝eq \f(\r(5)－1,4)， ∴cos 144°＝2cos272