“四翼”检测评价(十九) 向量的数乘与向量共线的关系（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(十九) 向量的数乘与向量共线的关系 (一)基础落实 1．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使＝成立的充要条件是(　　) A．a＝b　　　　　　 B．a＝2b C．a∥b且|a|＝|b| D．a∥b且方向相同 解析：选D　表示a方向的单位向量，因此＝的充要条件是a与b同向即可，故选D. 2．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为(　　) A．－1 B．2 C．－2或1 D．－1或2 解析：选D　由于A，B，C三点共线，故可设＝k (k∈R)，因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]，所以λ＝k,2＝k(λ－1)，解得λ＝－1或λ＝2. 3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　) A．P，A，C三点共线 B．P，A，B三点共线 C．P，B，C三点共线 D．以上均不正确 解析：选A　在△ABC中，取AC的中点D，则＋＝2，∴2＝2，∴D和P重合，∴P，A，C三点共线．故选A. 4.已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 解析：选D　由A，B，C三点共线可得，∥，∴存在m∈R，使＝m，∴λa＋b＝ma＋mμb，即(λ－m)a＝(mμ－1)b.∵a，b不共线，∴故可得λμ＝1.反之，若λμ＝1，则μ＝.∴＝a＋b＝(λa＋b)＝，∴∥，又与有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选D. 5．设e1与e2是两个不共线的向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为(　　) A．－ B．－2 C．2 D． 解析：选A　由A，B，D三点共线可得，必存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 所以解得故选A. 6．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且＝x＋y，则x＋y＝________. 解析：∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R，使＝λ，∴－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ，∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1. 答案：1 7．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k的值为________． 解析：∵a与b是共线向量，∴存在实数λ，使a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，∴解得∴k＝－2. 答案：－2 8．已知＝，又＝λ，则实数λ＝________. 解析：∵＝λ，∴＝λ(－)，可得λ＝(－1－λ)，又＝，∴λ＝λ，∴－1－λ＝λ，解得λ＝－. 答案：－ 9.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线． 证明：＝－， 因为＝，＝＝(＋)， 所以＝＋－＝－，　① ＝－＝－，　② 由①②可知＝3，即∥， 又因为MC，MN有公共点M，所以M，N，C三点共线． 10．若a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，问当实数t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上？ 解：由题意知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ，整理得a＝b，∵a与b不共线，∴∴故当t＝时，a，tb，(a＋b)三向量的终点共线． (二)综合应用 1.如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A. B． C. D． 解析：选D　由题意可得＝5，则＝m＋×5＝m＋. 因为B，N，P三点共线，所以m＋＝1，即m＝. 2．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则P一定为△ABC的(　　) A．AB边上的中线的三等分点(非重心) B．AB边的中点 C．AB边上的中线的中点 D．重心 解析：选A　如图所示，延长CO交AB于D，∵O是△ABC的重心， ∴D为AB的中点，2＝. ∴＝＝＝＝，∴P为AB边上的中线的三等分点(非重心)．故选A. 3.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则t＝λ－μ的最大值是________． 解析：设＝k,0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k，∵＝λ＋μ，∴∴t＝λ－μ＝3k. 又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取得最大值3. 故t＝λ－μ的最大值为3. 答案：3 4.如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等