6.1 第一课时 余弦定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

6．1　余弦定理与正弦定理 第一课时　余弦定理 1．余弦定理及变形 1．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2．余弦定理的另外一种常见变式 2bccos A＝b2＋c2－a2 ， 2accos B＝a2＋c2－b2， 2abcos C＝a2＋b2－c2. 2. 在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________. 3．已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？ 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．　　 [对点训练] 1．设a＝m，b＝m＋1，c＝m＋2是钝角三角形ABC的三边长， 则实数m的取值范围是 (　　) A．(0,3) B．(1,3) C．(3,4) D．(4,6) (1)余弦定理及其推论把“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式． (2)余弦定理及其推论在结构上有所不同，在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择． (3)因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上是减函数，此时，由cos α＝m(－1＜m＜1)来确定α是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角时就不必分情况讨论了．　　 一、在典题训练中内化学科素养 余弦定理是解三角形的一个重要工具，特别是在进行边角互化解三角形中具有重要作用，是高考考查的“常客”. 高考对余弦定理的考查侧重对函数与方程思想、数形结合思想的考查，注重对逻辑推理、数学运算、直观想象素养的考查． 内化素养 数学运算 利用余弦定理及其结构，构建并解方程，易障碍点为无法建立题目条件与公式定理的关系，求边角 逻辑推理 由三角形的性质及余弦定理的应用，推出所要求的边角及面积 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________. ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(二十四)” (单击进入电子文档) 37 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握余弦定理、正弦定理． 2.能够利用余弦定理、正弦定理解决简单的实际应用． 重点难点 重点：用正弦定理、余弦定理解三角形． 难点：正弦定理、余弦定理的理解. a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 减去 eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(c2＋a2－b2,2ca) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 公式表达 a2＝ ；b2＝ ；c2＝_________________。 语言叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 这两边与它们夹角余弦的积的两倍 变形 cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝__________ b2＋c2－2bccos A 3．余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． 4．在高中阶段，同学们要将15°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))，75°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))也视作特殊角，掌握它角函数值，因为它们经常在考题中出现． sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，cos 15°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，sin 15°＝2－eq \r(3)；sin 75°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，cos 75°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，tan 75°＝2＋eq \r(3). —————————————————————————————————— 2．△ABC的面积公式 (1)S△ABC＝eq \f(1,2)a·ha＝eq \f(1,2)b·hb＝eq \f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高) (2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A. 答案：D　 1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq \r(