6.1 第三课时　正、余弦定理的实际应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第三课时　正、余弦定理的实际应用 (1)求AM的长度； (2)求M，N之间的距离． 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．　　 [对点训练] 1．A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________km. [典例]　(多选)某同学为测量教学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出教学楼AB的仰角∠ACB＝α，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有 (　　) A．从点C向教学楼前进a米到达点D，测量出角∠ADB＝β B．在地面上另选点D，测量出角∠ACD＝β，∠ADC＝γ，CD＝a米 C．在地面上另选点D，测量出角∠BDC＝β，CD＝a米 D．从过点C的直线上(不过点B)另选点D，E，测量出CD＝2DE＝a米，∠ADB＝β，∠AEB＝γ 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形； (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用几何知识与方程思想．　　 (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题． (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．　　 一、在典题训练中内化学科素养 近两年，正、余弦定理在实际应用中的考查在高考中体现的特别明显，其正符合了数学建模的核心素养，解决此类问题的关键是能做出示意图，故涉及直观想象的核心素养． 内化素养 数学建模 根据实际情况建立数学模型 直观想象 有时需借助图形解题 数学运算 利用正、余弦定理代入数据解题 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m. 2．坡度为45°的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 注重实践应用 3.如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高 点．某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯 角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度)． (1)请你利用准备好的工具(可不全使用)，设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告； 注：测量报告中包括你使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式． (2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差情况进行说明． ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(二十六)” (单击进入电子文档) 30 ——————————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————— 测量距离问题 —————————————————————————————————— 　　[典例]　如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．在A点测得M，N的俯角分别为α1＝75°，β1＝30°，在B点测得M，N的俯角分别为α2＝45°，β2＝60°，同时测得AB＝2eq \r(3) km. [解]　(1)在△ABM中，已知∠MAB＝75°，∠MBA＝45°，则∠AMB＝60°， 由正弦定理得eq \f(AM,sin∠ABM)＝eq \f(AB,sin∠AMB)， 所以AM＝eq \f(AB·sin∠ABM,sin∠AMB)＝eq \f(2\r(3)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝2eq \r(2). (2)因为α2＝45°，β2＝60°， 所以∠MBN＝75°，∠ABN＝120°，则∠ANB＝30°， 所以AB＝BN＝2eq \r(3)，AN＝2ABcos 30°＝6， 在△AMN中，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos 45°＝8＋