5.2 & 5.3 向量数量积的坐标表示利用数量积计算长度和角度（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

5．2 & 5.3　向量数量积的坐标表示利用数量积计算长度和角度 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是 (　　) A．23　　 B．7　　　C．－23　　 D．－7 解析：a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7. 答案：D　 3．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________． 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算律和运算性质. 解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．　　 [对点训练] 1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝ (　　) A．12　　　　　　　　 B．0 C．－3 D．－11 解析：∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. 答案：C　 2．已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝ (　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. 答案：C　 2．已知a＝(2,1)，b＝(m,6)，向量a与向量b的夹角θ是锐角，则实数m的取值范围是 (　　) A．(－3，＋∞)　　　　　 B．(－∞，－3) C．(－3,12)∪(12，＋∞) D．(－3,12) 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为__________． 一、在典题训练中内化学科素养 向量数量积是高考考查的重点，当直接给出向量的坐标或根据图形特点建立直角坐标系转化为代数问题，考查数量积的坐标运算，注重对数学运算、直观想象素养的考查． 1．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝ (　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 内化素养 直观想象 画出图形，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解 数学运算 利用向量的数量积公式建立不等式求解 3．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝_______. 利用坐标公式求数量积、夹角、模等．注意区分两向量平行与垂直坐标形式的不同．　　 4．已知向量a＝(－2,3)，非零向量b满足a⊥b，则b＝________.(写一个向量坐标即可) 解析：设b＝(x，y)，则由b⊥a得a·b＝－2x＋3y＝0，取x＝3，则y＝2，b＝(3,2)． 答案：(3,2)(答案不唯一) ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(二十三)” (单击进入电子文档) 39 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角． 2.掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用． 3.会利用数量积计算长度与角度． 重点难点 重点：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 难点：运用向量数量积的坐标表达式表示向量的模与夹角. x2＋y2 eq \r(x2＋y2) eq \r(x2－x12＋y2－y12) 1．向量数量积的坐标表示 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a·b＝ . 2．向量长度的坐标表示 设a＝(x，y)，则|a|2＝ ，或|a|＝ ； 如果表示向量a的有向线段eq \o(AB,\s\up17(―→))的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|a|＝eq \o(|AB|,\s\up17(―→))＝ . x1x2＋y1y2 3．向量夹角的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0，b≠0)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ . 4．向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔ . eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))) x1x2＋y1y2＝0 答案：D　 2．已知eq \o(MN,\s\up17(―→))＝(3，－4)，则|eq