5.1 向量的数量积（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

5．1　向量的数量积 2．规定 规定零向量与任一向量的数量积为 . 3．数量积与夹角的关系 当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当90°<〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|. 0 对数量积含义的理解 (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数． (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定． 1．已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和b的数量积a·b＝________. 2．已知a与b 共线，且|a|＝3，|b|＝4，试求a·b的值． 提示：a与b同向共线时，a·b＝3×4×cos 0°＝12.a与b反向共线时，a·b＝3×4×cos 180°＝－12. 2．数量积的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积(如图)；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积． 1．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影数量为________． 答案：1 2．若|a|＝4，a·b＝6，则b在a方向上的投影数量为________． (三)数量积的运算性质 1．平面向量数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ. (1)交换律：a·b＝ ； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝ ； (3)关于加法的分配律：a·(b＋c)＝ . b·a (λa)·b＝a·(λb) a·b＋a·c (1)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c. 但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c. (2)对于实数a，b，c有(ab)c＝a(bc)，但对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立. 这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立． 1．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下结论： ①(a·b)c－(c·a)b＝0； ②(b·c)a－(c·a)b不与c垂直； ③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的是________(填序号)． 答案：③ 2．在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0；而在向量数量积的运算中，能由a·b＝0推出a＝0或b＝0吗？ 提示：不能．当a·b＝0时，a＝0或b＝0或a≠0，b≠0，但a⊥b. [典例]　已知向量a与b的夹角为θ，|a|＝5，|b|＝4，分别求在下列条件下的a·b. (1)θ＝120°；(2)a∥b；(3)a⊥b. 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略．　　 求投影数量时要搞清楚是哪一个向量在哪一个向量方向上的投影，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键. 在确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点”．　　 [对点训练] 1．已知向量a，b满足|a＋b|＝4，|a－b|＝2，则|a||b|的最大值是 (　　) A．3　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：∵|a＋b|＝4，|a－b|＝2，∴|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2＝20，∴|a|2＋|b|2＝10.∵(a－b)2≥0，∴|a|2＋|b|2≥2|a||b|，∴|a||b|≤5，∴|a||b|的最大值为5，故选C. 答案：C　 [拓展] 将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． 2.已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数 k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值． 一、在典题训练中内化学科素养 对向量数量积的考查，高考几乎每年都有，若以代数知识形态出现，则主要考查公式运用下的简单计算，聚集的是数学运算素养；若以几何形态出现，则突出直观想象以及数学运算素养的考查． 2．(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝______. 3．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－