4.2 平面向量及运算的坐标表示（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．2　平面向量及运算的坐标表示 (1)由平面向量的坐标表示的定义可知，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系．因此在直角坐标系中，点或向量都可以看作有序实数对的直观形象． (2)只有当a＝x i＋yj，i，j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量时，才能说向量a的坐标为(x，y)． (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b等价于它们对应的横、纵坐标分别相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. 3.如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，___ _____. 解析：将各向量分别向基i，j所在直线分解，则a＝－4 i＋0j，∴a＝(－4,0)．b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)．c＝－2i－5 j，∴c＝(－2，－5)． 答案：(－4,0)　(0,6)　(－2，－5) (二)平面向量运算的坐标表示 1．平面向量运算的坐标表示   文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量_____________ 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝______________ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量_____________ 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝______________ 相应坐标的和 (x1＋x2，y1＋y2) 相应坐标的差 (x1－x2，y1－y2) 2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则a－b＝ (　　) A．(3,7) B．(3,9) C．(3,3) D．(3,5) 解析：因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以a－b＝(2－(－1)，4－1)＝(3,3)．故选C. 答案：C　 2．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是 (　　) A．不共线 B．相等 C．方向相同 D．方向相反 解析：∵a＝－2b，∴a与b方向相反．故选D. 答案：D　 求向量坐标的方法 (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标． (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．　　 [对点训练] 1．已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，则向量a的坐标为 (　　) A．(4e1,3e2)　　　　　 B．(4e1，－3e2) C．(4,3) D．(4，－3) 解析：∵e1，e2是互相垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，∴a＝(4，－3)． 答案：D　 平面向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．　　 1．向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行． 2．由向量共线求参数的值的方法 [对点训练] 1．已知a＝(1,2)，b＝(2,1－x)，若a与b共线，则x等于 (　　) A．－3 B．－4 C．2 D．0 解析：a＝(1,2)，b＝(2,1－x)，若a与b共线，则1－x＝2×2，解得x＝－3. 答案：A　 2．在平面直角坐标系中，A(1,1)，B(3,4)，C(2x－1,4x)． (1)若A，B，C三点共线，求x的值； (2)若D在AB的延长线上，且|AD|＝3|AB|，求D点的坐标． 一、在典题训练中内化学科素养 高考对本节的考查主要是平面向量的坐标运算，由向量平行的坐标表示，主要考查数学运算的核心素养． 2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________. 内化素养 逻辑推理 由两向量平行推出向量坐标满足的关系式 数学运算 由已知向量的坐标，计算出未知向量的坐标 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于 (　　) A．(1，－1)　　　　 　 B．(－1,1) C．(－4,6) D．(4，－6) 解析：因为向量4a,3b－2a，c对应的有向线段首尾相接能构成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6)． 答案：D　 强化拓广探索 5．若α，β是一组基，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基α，β下的