4.1 平面向量基本定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．1　平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个 的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使 . 2．基 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组 ，记为{e1，e2}． 3．正交基及正交分解 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为 ．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为____________． 不共线 a＝λ1e1＋λ2e2 基 正交基 标准正交基 1．平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 2．基的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基．由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基． (2)不唯一性 对基的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基{e1，e2}线性表示． 答案：4e1＋3e2 4．向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________． 答案：3 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为一组基的向量必为非零向量．　　 2．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，若a，b能作为一组基，则实数λ的取值范围为________． 解析：若a，b能作为一组基，则向量a，b不共线．由题可知，若向量a，b共线，则有λ＝4，故当向量a，b不共线时，λ≠4，即实数λ的取值范围是(－∞，4)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 用基表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据： ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型： [拓展] 若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN. 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基； (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．　　 一、在典题训练中内化学科素养 高考中多以平面几何图形为载体考查平面向量的线性运算，聚焦于向量加法的三角形法则、平行四边形法则，共线向量基本定理，突出考查直观想象和逻辑推理等素养的考查． 内化素养 直观想象 分析图形，作AE⊥BC于点E，利用三点共线求解 逻辑推理 利用共线向量基本定理求出m的值，再通过作辅助线求解CD的长度 2．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b. ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(二十)” (单击进入电子文档) 37 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解平面向量基本定理及其意义． 2.能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题． 重点难点 重点：能应用平面向量基本定理解决一些实际问题． 难点：理解平面向量基本定理及其意义. 1．若e1，e2是平面内的一组基，则下列四组向量能作为平面向量的基的是 (　　) A．e1－e2，e2－e1　　　 B．2e1－e2，e1－eq \f(1,2)e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 答案：D 2．已知D是△ABC中AB边的中点，则向量eq \o(CD,\s\up17(―→))＝ (　　) A．－eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up17(―→)) B．eq \o(BC,\s\up17(―→))－eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up17(―→)) C．－eq \o(BC,\s\up17(―→))－eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up17(―→)) D．eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up17(―→)) 答案：A 3．如图所示，向量eq \o(OA,\s\up17(―→))可用向量e1，e2表示为________． ——————————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————— 基的判断及应用 ———————