3.2 向量的数乘与向量共线的关系（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

3．2　向量的数乘与向量共线的关系 1．共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使 . 2．直线的向量表示 a＝λb 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 3．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b. 解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ＞0)．∴|a|＝|λb|＝|λ||b|. 又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8.∴λ＝8. 答案：8 向量共线的判定一般是用其判定定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．　　 利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．　　 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十九)” (单击进入电子文档) 26 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握共线(平行)向量基本定理及应用． 2.了解直线的向量表示形式． 重点难点 重点：共线向量基本定理的推导及应用． 难点：共线向量定理的理解. 通常可以用eq \o(AP,\s\up17(―→))＝teq \o(AB,\s\up17(―→))表示过点A，B的直线l，其中 称为直线l的方向向量． eq \o(AB,\s\up17(―→)) (1)对任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ，μ)，使λa＋μb＝0，则a与b共线．证明如下：若a，b中至少有一个为零向量，显然成立．若a，b均为非零向量，不妨设μ≠0，则b＝－eq \f(λ,μ)a，说明a与b共线． 但若向量a，b不共线，当λa＋μb＝0时，一定有λ＝μ＝0. (2)一般地，解决向量a，b共线问题，可用两个不共线向量(如e1，e2)表示向量a，b，设b＝λa(a≠0)，化成关于e1，e2的方程Φ(λ)e1＋φ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Φλ ＝0，,φλ＝0，))解方程组即可． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa. (　　) (2)若eq \o(AD,\s\up17(―→))＝3eq \o(AB,\s\up17(―→))，则eq \o(AD,\s\up17(―→))与eq \o(AB,\s\up17(―→))共线． (　　) (3)一个点A和一个非零向量eq \o(AB,\s\up17(―→))可以唯一确定过点A与向量eq \o(AB,\s\up17(―→))平行的直线l. (　　) (4)若点P是AB的中点，点O为直线AB外一点，则eq \o(OP,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up17(―→))＋eq \o(OB,\s\up17(―→)))． (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ ——————————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————— 向量共线的判定 —————————————————————————————————— [典例]　判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)． (1)a＝5e1，b＝－10e1； (2)a＝eq \f(1,2)e1－eq \f(1,3)e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. [解]　(1)∵b＝－2a，∴a与b共线． (2)∵a＝eq \f(1,6)b，∴a与b共线． (3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.∵e1与e2是两个不共线向量，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－3λ＝0，,1＋3λ＝0.))这样的λ不存在，因此a与b不共线． eq \a\vs4\al([方法技巧]) [对点训练] 已知P，A，B，C是平面内四点，且eq \o(PA,\s\up17(―→))＋eq \o(PB,\s\up17(―→))＋eq \o(PC,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))，则下列向量一定共线的是 (　　) A．eq \o(PC,\s\up17(―→)