新疆乌鲁木齐市第四十中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题

乌鲁木齐市第四十中学 2022-2023学年 高二下学期开学考试 数学试题 （考试范围：选择性必修一全册） 总分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（12小题每题5分共60分） 1．已知直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．3 D．1 2．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．抛物线的焦点坐标为是抛物线上一点，则点M到抛物线的准线的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知椭圆的长轴长为10，离心率为，则椭圆的短轴长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．曲线表示（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 6．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 7．已知，，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．若直线与直线互相垂直，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 9．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．已知点在直线上，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内含 D．外切 二、填空题（共4小题，每题5分共20分） 13．在正方体中，给出以下向量表达式： ①；        ②； ③；        ④. 其中能够化简为向量的是______________（填序号）. 14．平面的斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别为，则斜线与平面所成角为__________. 15．已知空间三点，，，向量分别与，都垂直，且，且的横､纵､竖坐标均为正，则向量的坐标为___________. 16．已知直线与圆相交于A，B两点，则线段的长为___________. 三、解答题（共70分，请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。） 17．如图，在四棱锥中，，底面，是边长为2的菱形，，正所在平面与底面垂直． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 18．已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，. (1)若点是棱上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论； (2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 19．判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 20．双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，， 与的交点为，求点的轨迹方程. 21．求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程． 22．如图，在三棱锥中，，O为中点. (1)证明：直线平面； (2)若点M在棱上，，且，求直线与平面所成角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 高二数学开学考试答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B C D D B C B C C A D 13．①② 【解析】①中，； ②中，； ③中，； ④中，. 故答案为：①②. 14． 【解析】由线面角的含义知，即为线面所成角或其补角， 又因为线面角， 所以， 所以，即斜线与平面所成角为60°. 故答案为：. 15． 【解析】设向量的坐标为， 因为，，， 所以，， 因为向量分别与，都垂直，且， 所以，解得：， 所以向量的坐标为， 故答案为：. 16． 【解析】直线恒过点， 圆的圆心，半径为， 直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段的长为. 故答案为：. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设的中点为O，利用面面垂直的性质证明平面，从而证明，进而证明四边形为平行四边形，由此可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出面和平面的法向量，利用向量的夹角公式结合同角的三角函数的平方关系即可求得答案. (1) 设的中点为O，连接, 因为是正三角形，所以， 又因为平面平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形，所以，平面， 因此平面． (2) 因为，，所以是正三角形， 连接OB,则， 如图，以O为原点，，，所在直线分别为x