第七讲“胡不归问题和阿氏圆”问题专题（压轴题专题讲义）2023年九年级中考数学总复习

第七讲 “胡不归问题和阿氏圆”求线段最值问题（压轴题专题讲义） 内容提要 【胡不归问题】 【阿氏圆问题】 知识点拓展详解 【胡不归问题】 【模型建立】 【问题】点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使AP＋BP最小． 【作法】过点 A 作∠NAP＝45°，过点 P 作 PE⊥AN，在直角三角形中将AP 转化为 PE，使得AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF 的长度． 【解题关键】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 注意：而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段． 【阿氏圆问题】 【模型建立】 【问题】如图，在Rt🔺ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+BP的最小值. 【作法】连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，或者先构造比例，再求出CD的长，两种方法只不过是条件互换，其实质都是构造共角的子母相似三角形，得到PD=BP，因此有AP+BP=AP+PD，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求AD的长度． 【解题关键】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造共角的子母相似三角形，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 注意：而这里的P的运动轨迹是一个圆，根据相似可以得到kPB的等线段． 强化同步练习 一．选择题（共8小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+CP的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 2．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则的最小值是（　　） A．3 B． C．6 D． 3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（　　） A．AB B．AE C．BD D．BE 4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+PC的最小值是（　　） A．6 B．2+ C．2+3 D．3 6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（　　） A．4 B． C． D． 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　） A．3 B．6 C．5 D．10 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（　　） A．24 B．25 C．30 D．36 二．填空题（共4小题） 9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 　 　． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　 　． 11．【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆” 【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为 　 　． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 　 　． 三．解答题（共6小题） 13．（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长； （2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落