21.1-21.3 整式方程、分式方程-2022-2023学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（沪教版）

21.1-21.3整式方程、分式方程 一、一元整式方程 1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程; 2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程. 3.一元高次方程 概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。 要点： 一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次. 二、二项方程 1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程. 要点： 注 ：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 2.一般形式： 3. 二项方程的基本方法:是（开方） 4.解的情况： 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，； 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根. 三、双二次方程 1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 要点： 当常数项不是0时，规定它的次数为0. 2.一般形式： 3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代 4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。 要点： 解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。 四、分式方程 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程. 五、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤. 可以用下面的图表示： ( 分式方程 去分母 解整式方程 检验 增根舍去 是原方程的根 写出分式方程的根 ) 六、分式方程的解法 1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2、解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法. 2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）. 3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法. 七、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 题型1：整式方程 1．下面四个方程中是整式方程的是（　　）． A． B． C． D． 2．下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 3．解关于x的方程： 4．关于x的方程,当a__________时为一元一次方程；当a________时为一元二次方程. 题型2：二项方程 5．下列方程中，是二项方程的是（     ） A．； B．； C．； D． 6．下列方程中，二项方程是（    ） A． B． C． D． 7．下列方程中，属于二项方程的是（    ） A． B． C． D． 8．试写出一个二项方程，这个方程可以是________________. 题型3：分