解答题系列-立体几何向量解决线面角-2023届高三数学二轮专题复习

解答题系列-立体几何向量解决线面角 一、解答题 1．如图，已知单位正方体，E，F分别是棱和的中点，试求AF与平面所成角的正弦值． 2．如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点. （I）求证：// 平面； （II）若平面平面，，    求直线与平面所成角的正弦值. 3．如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE． (1)设F为的中点，在AB上是否存在一点M，使得平面．若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，，，是的中点，点在平面上的射影为的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值． 5．如图，直三棱柱的体积为，，与交于点D，E为BC中点． (1)求证：//平面； (2)若，，求直线与平面DEC所成角的正弦值． 6．如图，正三棱柱的棱长都为2，D为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点C到平面的距离． 7．如图，在四棱锥中，，且和均是等边三角形，O为的中点. （I）求证：平面； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值. 8．如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求点到直线的距离； （4）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值. 9．如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点． 求证：； 若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题系列-立体几何向量解决线面角 一、解答题 1．如图，已知单位正方体，E，F分别是棱和的中点，试求AF与平面所成角的正弦值． 2．如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点. （I）求证：// 平面； （II）若平面平面，，    求直线与平面所成角的正弦值. 3．如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE． (1)设F为的中点，在AB上是否存在一点M，使得平面．若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，，，是的中点，点在平面上的射影为的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值． 5．如图，直三棱柱的体积为，，与交于点D，E为BC中点． (1)求证：//平面； (2)若，，求直线与平面DEC所成角的正弦值． 6．如图，正三棱柱的棱长都为2，D为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点C到平面的距离． 7．如图，在四棱锥中，，且和均是等边三角形，O为的中点. （I）求证：平面； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值. 8．如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求点到直线的距离； （4）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值. 9．如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点． 求证：； 若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值． 参考答案： 1．【解析】以为原点,分别以、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系， 则，，,,, 即，,, 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设与所成的角为，则 ， 则与平面所成角,即, 故与平面所成角的正弦值为． 2．【解析】（I）证明：连接BD角AC于点F，再连接EF. 因为四边形是菱形，所以点F是BD的中点， 又因为点是的中点，所以EF是三角形DBS的中位线， 所以DS平行EF， 又因为EF平面ACE，SD平面ACE 所以// 平面 （II）因为四边形是菱形，，所以 又AB=AD，所以三角形ABD为正三角形. 取AB的中点O，连接SO，则DOAB 因为平面平面，平面平面=AB 所以DO平面ABS，又因为三角形ABS为正三角形 则以O为坐标原点建立坐标系 设AB=2a，则 设平面ADS的一个法向量为 则 取x=1，则 所以 设直线AC与平面ADS所成角为 则 3．【解析】（1）存在，且AM＝AB， 取D1E的中点L，连接AL，FL， ∵FLEC，ECAB，∴FLAB且FL＝AB， ∴FLAM，FL=AM ∴AMFL为平行四边形，∴MFAL， 因为MFAD1E上， AL⊂平面AD1E，所以MF平面AD1E. 故线段AB上存在满足题意的点M，且＝. （2）取的中点，的中点，连接， ， ， 因为平面平面ABCE， 则平面ABCE， 故以为坐标原点，为轴建立空间直