江苏省贾汪中学2022-2023学年高二下学期数学午练立体几何高考大题

江苏省贾汪中学2023年高二下数学午练 立体几何高考试题精选解答题 时间：60分钟 满分：60分 命卷人：蔡陈 审核人： 一、解答题（每小题12分，共5小题60分） 1. 如图,在正方体中,为的中点.        (1)求证:平面;        (2)求直线与平面所成角的正弦值.        2. 如图,在三棱锥中,,,为的中点.        (1)证明:平面;        (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.        3. 如图,在三棱柱中,平面,,点分别在棱和棱上,且为棱的中点.               (1)求证:;        (2)求二面角的正弦值;        (3)求直线与平面所成角的正弦值. 4. 如图,直三棱柱的体积为,的面积为.        (1)求到平面的距离;        (2)设为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.        5. 如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.        (1)证明:;        (2)若是边长为的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.        学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何高考试题精选解答题答案和解析 第1题： 【答案】见解析 【解析】(1)在正方体中,∵,,∴四边形为平行四边形,∴,又面,面,∴面.        (2)分别以,,为,,轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为,易知,,,,则,,,设平面的法向量为,则,        令,则,设直线与平面所成的角为,        则,        即直线与平面所成角的正弦值为. 第2题： 【答案】(1)见解析        (2) 【解析】(1)因为,为的中点,所以,且.连接,因为,所以为等腰直角三角形,且,.由知.由,知平面.        (2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.        由已知得,,,,,.取平面的法向量.设(),则.设平面的法向量为,由,得,可取,所以.由已知可得,所以,解得或(舍去),所以.又,所以,所以与平面所成角的正弦值为. 第3题： 【答案】见解答 【解析】依题意,以为原点,分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),               可得,,,,       ,,,,.        (1)依题意,,,        从而,所以;        (2)依题意,是平面的一个法向量,       ,.        设为平面的一个法向量,        则,即,        不妨设,可得,        ∴,       .        所以,二面角的正弦值为;        (3)依题意,.        由(2)知为平面的一个法向量,于是.        所以,直线与平面所成角的正弦值为. 第4题： 【答案】见解析 【解析】(1),        ∴,即,∴.        (2)连接交于,        ∵,平面平面,        ∴,平面,∴,        又∵,∴平面,        由(1)得,,∴.以为坐标原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,如图所示,               则,,,,        ∴,,,        设平面法向量为,平面法向量为,        ∴,即,       ,即,        设二面角的平面角为,        ∴,∴. 第5题： 【答案】见解析 【解析】(1)平面平面,平面平面,∵,为中点,∴,平面,∴平面,平面,∴.        (2)方法一:取中点,∵为正三角形,∴,过作与交于点,则,∴,,两两垂直,以为坐标原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,,,,设,则,平面,∴平面的法向量为,,∴,不妨设,则,,则,二面角的大小为,∴,∴,       ,∴,∴.        方法二:过作交于点,再过作交于点,显然这样会有平面,而这个正三角形加上,可知,意味着,同时很自然的也会有,而二面角很显然就是,这个是,说明,        综合上面的条件,会得到,然后,再然后,故,同时,得到,那么就有. 学科网（北京）股份有限公司 $