小卷12 圆的综合题-【智乐星中考·中考备战】2023年山东日照中考数学

小卷12　圆的综合题 姓名：________ 班级：________ 1．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC. (1)求证：∠DAB＝2∠ABC; (2)若tan∠ADC＝，BC＝4，求⊙O的半径． 2．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OE⊥AD，OE与AB的延长线交于点E，点C在OE上，满足∠CBE＝∠ADB. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若∠CBE＝∠ADB＝30°，OA＝3，求线段CE的长． 3．(2021·日照)如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A，D两点，与BO的延长线相交于点E，F为上一点，且＝.连接AE，DF相交于点G ，若AG＝3，EG＝6. (1)求▱OABC对角线AC的长； (2)求证：▱OABC为矩形． 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝60°.将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△EOC，EO交AC于点D，连接EA. (1)求证：EA是⊙O的切线； (2)连接EB，且EB交AC于点F. ①求证：EF·BC＝3BF·DO； ②求tan∠CEF的值． 参考答案 1．(1)证明：如图，连接OC. ∵EC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥EC. ∵DE⊥EC，∴OC∥DE， ∴∠DAB＝∠AOC. ∵＝，∴∠AOC＝2∠ABC， ∴∠DAB＝2∠ABC. (2)解：如图，连接AC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵＝，∴∠ABC＝∠ADC， ∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝. ∵BC＝4，∴AC＝2，∴AB＝＝2， ∴⊙O的半径为. 2．(1)证明：如图，连接OB. ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DBC＋∠CBE＝90°. ∵OD＝OB，∴∠ADB＝∠OBD. ∵∠CBE＝∠ADB，∴∠CBE＝∠OBD， ∴∠DBC＋∠OBD＝90°，即∠OBC＝90°. ∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线． (2)解：∵∠OBC＝90°，∠CBE＝30°，∴∠OBA＝60°. ∵OA＝OB＝3，∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝∠OAB＝60°. ∵∠AOE＝90°，∴∠E＝30°，∠COB＝30°. 在Rt△OBC中，CB＝OB·tan∠COB＝3tan 30°＝. ∵∠CBE＝∠E＝30°，∴CE＝CB＝. 3．(1)解：∵＝，∴∠ADF＝∠AED. 又∵∠DAG＝∠EAD，∴△GAD∽△DAE，∴＝， ∴AD2＝GA·AE＝GA·(AG＋GE)＝27，∴AD＝3. ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AD＝DC＝AC，∴AC＝6. (2)证明：∵ED为⊙O的直径， ∴∠EAD＝90°，∴ED＝＝6，∴OD＝3. ∵四边形OABC为平行四边形，∴BO＝2OD＝6＝AC， ∴平行四边形OABC为矩形． 4．(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝60°， ∴∠BCA＝90°，∠BAC＝30°. ∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△EOC， ∴∠ACE＝60°，AC＝CE，∴∠CAE＝60°， ∴∠EAO＝∠CAE＋∠BAC＝60°＋30°＝90°. 又∵点A在⊙O上，∴EA是⊙O的切线． (2)①证明：由(1)可得EO⊥AC， ∴∠EDF＝∠BCF＝90°，AD＝CD. 又∵∠EFD＝∠CFB， ∴△EFD∽△BFC，∴＝. ∵AO＝BO，∠CAB＝30°，∴BC＝2DO，EO＝AB＝2BC， ∴EO＝4DO，即ED＝3DO. ∴＝，即EF·BC＝3BF·DO. ②解：如图，设CO与EB交于点M. ∵∠ACB＝∠EDA＝90°， ∴CB∥EO， ∴△CBM∽△OEM， ∴＝＝. 设⊙O的半径为r，则CM＝，CE＝r. 在Rt△ECM中，tan∠CEF＝tan∠CEM＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $