第1讲 直接讨论法 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

直接讨论法 知识与方法 1.直接讨论法处理恒成立问题,是指对题中给出的函数(含有参数)直接求导,通过对参数的分类讨论,确定函数的单调性,得出函数的最值(或值域),进而求得参数的取值范围.核心思想是: 若函数存在最大(小)值,则: (1)恒成立等价于; (2)恒成立等价于. 2.直接讨论法研究恒成立问题,求解的关键在于确定函数的单调区间. 一般地,可根据导数的正负得到函数的单调区间.常用的手段是对导数进行因式分解或利用求根公式求根;当极值点不可求时,常利用零点存在性定理,确定导数零点的范围之后再进行讨论. 3.用导数研究含参函数的单调性,一般要进行分类讨论,其一般步骤为: (1)先求函数的定义域; (2)求导函数(通分、因式分解,便于讨论导函数的正负); (3)先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况; (4)再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界); (5)点睛意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并. 典型例题 可求最值型 【例1】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若,求的取值范围. 对数靠边走 【例2】已知函数. (1)当时,求曲线在处的切线方程; (2)若当时,,求的取值范围. 指数找朋友 【例3】已知函数,证明:当时,. 三角带参型 【例4】已知点为坐标原点,设函数. (1)当时,判断函数在上的单调性; (2)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围. 强化训练 1.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若有两个零点,求的取值范围. 2.已知函数. (1)若,求函数的图象在点处的切线方程; (2)若,求的取值范围. 3.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)当时,若无最小值,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 直接讨论法 知识与方法 1.直接讨论法处理恒成立问题,是指对题中给出的函数(含有参数)直接求导,通过对参数的分类讨论,确定函数的单调性,得出函数的最值(或值域),进而求得参数的取值范围.核心思想是: 若函数存在最大(小)值,则: (1)恒成立等价于; (2)恒成立等价于. 2.直接讨论法研究恒成立问题,求解的关键在于确定函数的单调区间. 一般地,可根据导数的正负得到函数的单调区间.常用的手段是对导数进行因式分解或利用求根公式求根;当极值点不可求时,常利用零点存在性定理,确定导数零点的范围之后再进行讨论. 3.用导数研究含参函数的单调性,一般要进行分类讨论,其一般步骤为: (1)先求函数的定义域; (2)求导函数(通分、因式分解,便于讨论导函数的正负); (3)先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况; (4)再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界); (5)点睛意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并. 典型例题 可求最值型 【例1】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若,求的取值范围. 【解析】(1)函数的定义域为, ①若,则在上单调递增. ②若,则由得. 当时,;当时,, 故在单调递减,在单调递增. ③若,则由得. 当时,; 当时,, 故在单调递减,在单调递增. (2) ①若,则,满足题意; ②若,则由(1)得,当时,取得最小值,最小值为. 从而当且仅当,解得,即时,. ③若,则由(1)得,当时,取得最小值, 最小值为. 从而,当且仅当,即时,. 综上,的取值范围为. 【点睛】求导之后,要有因式分解的意识.这个式子十分关键.令得或,即或.点睛意到0,显然接下来需要分类讨论,讨论的临界点就是. 对数靠边走 【例2】已知函数. (1)当时,求曲线在处的切线方程; (2)若当时,,求的取值范围. 【解析】(1)的定义域为. 当时,. 曲线在处的切线方程为. (2)当时,等价于. 今,则, ①当时,, 故在上单调递增,因此; ②当时,令得, 由和得, 故当时,在单调递减, 因此,故此时不成立. 综上,的取值范围是. 【点睛】第二问将不等式进行变形,让对数变成单独一项,再对新函数求导,对数便消失了.利用“对数靠边走”,只需一次求导就可以往下做,可以避免多次求导的麻烦.对于第二问,分类讨论的标准其实不止受判别式影响,还需要根据定义域及二次结构的正负,进行进一步的整合. 本题亦可考虑分离参数来处理,由,分离参数,可得,令,则,再令,由对任意恒成立,可知在上单调递增,于是,即有,所以在上单调递增,点睛意到不存在,由洛必达法则,可得,则,所以的取值范围是. 指数找朋友 【例3】已知函数,证明:当时,. 【解析】(1). 令. (1)当时,; 当时,;当时,.又, 结合图像可知:当时,,故恒成立. (2)当时,, 而,所以,则有. 综上,得证. 【点睛】对于含指数型函数的不等式,通常要让一个多项式函数乘以或除以指数型函数.“指数找朋友”,往往很容易求出极值点,