第2讲 分离参数法 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

分离参数法 知识与方法 分离参数法解决恒成立求参问题,可以有两个角度:全分离和半分离. 1.全分离参数法 将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来,使所研究的函数由动态变为定态,进而可得到新函数的图像、性质(最值),将求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.在分离参数时,需点睛意:(1)参数系数的正负是否确定;(2)分参后目标函数的最值是否易解,若不易解,极可能需要洛必达法则辅助. 2.半分离参数法 其一般步骤为:将不等式变形为或的形式(其中为参数,为常数),然后画出图像,由图像的上下方关系得到不等式,从而求得参数的取值范围.不等号前后两个函数的图像特征为:直线与曲线,而直线过定点. 需要说明的是:半分离参数法一般只适用于客观题,解答题则不宜使用. 典型例题 全分离参数 【例1】已知函数. (1)当时,讨论的单调性; (2)当时,,求的取值范围. 【例2】设函数. (1)若,求的单调区间; (2)若当时,求的取值范围. 【例3】已知函数. (1)若,判断在上的单调性; (2)若恒成立,求实数的取值范围. 【例4】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若,不等式对恒成立,求的取值范围. 换元后分离参数 【例5】已知函数. (1)若,求的单调区间和极值点; (2)若时,恒成立,求实数的取值范围. 半分离参数 【例6】已知函数,其中为自然对数的底数. (1)若在定义域内有唯一零点,求的取值范围; (2)若在上恒成立,求的取值范围. 【例7】已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)当时,对任意恒成立,求正整数的最大值. 【例8】设函数,其中.若存在在唯一的整数使得.则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 强化训练 1.设函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线. (1)求的值; (2)若时,,求的取值范围. 2.设函数. (1)求的单调区间; (2)若为整数,且当时,,求的最大值. 3已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)若不等式对任意的都成立(其中是自然对数的底数).求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 分离参数法 知识与方法 分离参数法解决恒成立求参问题,可以有两个角度:全分离和半分离. 1.全分离参数法 将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来,使所研究的函数由动态变为定态,进而可得到新函数的图像、性质(最值),将求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.在分离参数时,需点睛意:(1)参数系数的正负是否确定;(2)分参后目标函数的最值是否易解,若不易解,极可能需要洛必达法则辅助. 2.半分离参数法 其一般步骤为:将不等式变形为或的形式(其中为参数,为常数),然后画出图像,由图像的上下方关系得到不等式,从而求得参数的取值范围.不等号前后两个函数的图像特征为:直线与曲线,而直线过定点. 需要说明的是:半分离参数法一般只适用于客观题,解答题则不宜使用. 典型例题 全分离参数 【例1】已知函数. (1)当时,讨论的单调性; (2)当时,,求的取值范围. 【解析】(1)当时,. 当时,单调递减; 当时,单调递增. 所以,当时,在上单调递减,在上单调递增. (2)解法1:分离参数法 当时,. 当时,. 记, 则. 记. 因为,所以,所以在上单调递增, 从而,所以在单调递增,所以. 令,解得. 当时,单调递增; 当时,单调递减. 所以在处取得最大值,从而. 综上,实数的取值范围是. 解法2:指数找朋友 等价于. 设, 则. (1)当,即时, 则当时,,所以在单调递增,而, 故当时,,不合题意; (2)当,即时, 则当时,. 所以在单调递减,在上单调递增. 由于,所以.当且仅当,即. 所以当时,. (3)若,即时,则.由于),故由(2)可得.故当时,. 综上所述,实数的取值范围是. 【点睛】解决本题的关键在于求导数后的处理.仔细观察导数式中前面的系数为,由此可大胆猜测应该为的一个因式,从而可设,将右侧展开,得,比较两侧的系数,可得,从而. 【例2】设函数. (1)若,求的单调区间; (2)若当时,求的取值范围. 【解析】(1)因为时,所以. 当时,;当时,. 故在上单调递减,在上单调递增; (2)解法1: 由可得,当时,, 即,当且仅当时等号成立. 依题意,当时恒成立, 当时,,此时; 当时,等价于, 令,则, 今,则, 因为,所以在上为增函数,所以, 于是在上为增函数,从而, 因此在上为增函数, 由洛必达法则知,,所以.当时,得, 故当时,,而,于是当时,. 综上得的取值范围是. 解法2: ,由(1)知,当且仅当时等号成立, 故. 当,即时,, 所以在上单调递增,故,即符合题意; 当时,由可得, 所以, 所以, 则当时,在上单调递减, 于是当时,,故不合题意. 综上所述,的取值范围是. 【