第3讲 端点效应法 讲义——2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

端点效应法 知识与方法 端点效应法是一种必要性探路法,是指对某些与函数有关的恒成立问题,通过选取函数定义域内的某些特殊值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内进行讨论,或去验证其充分性,进而得到参数的准确范围的方法. 在验证其充分性的时候,往往需要结合“矛盾区间”进行说明.“端点效应矛盾区间”才是完整的解题过程,其重点在于说明“矛盾”. 需要指出的是,必要性探路的方法求出的结果并不一定就是所求的实际范围,但可以缩小参数的讨论范围,减少分类讨论的类别. 典型例题 【例1】设函数. （1）若,求的单调区间; （2）若当时,求的取值范围. 【例2】已知函数既存在极大值,又存在极小值. (1)求实数的取值范围; (2)当时,分别为的极大值点和极小值点.且,求实数的取值范围. 【例3】已知函数. (1)探究函数单调性; (2)若在上恒成立,求实数的取值范围. 【例4】已知函数,当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围. 【例5】已知函数为常数. (1)讨论的单调性; (2)若恒成立,求实数的取值范围. 【例6】已知函数是的导函数. (1)证明:在区间存在唯一的零点; (2)若,求的取值范围. 强化训练 1.设函数. (1)证明:的导数; (2)若对任意的,都有,求的取值范围. 2.设函数,其中是的导函数. 若恒成立,求实数的取值范围. 3.已知函数,当时,,求实数的取值范围. 4.设函数. (1)求的单调区间; (2)如果对任何,都有,求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 端点效应法 知识与方法 端点效应法是一种必要性探路法,是指对某些与函数有关的恒成立问题,通过选取函数定义域内的某些特殊值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内进行讨论,或去验证其充分性,进而得到参数的准确范围的方法. 在验证其充分性的时候,往往需要结合“矛盾区间”进行说明.“端点效应矛盾区间”才是完整的解题过程,其重点在于说明“矛盾”. 需要指出的是,必要性探路的方法求出的结果并不一定就是所求的实际范围,但可以缩小参数的讨论范围,减少分类讨论的类别. 典型例题 【例1】设函数. （1）若,求的单调区间; （2）若当时,求的取值范围. 【解析】在上单调递减,在上单调递增. (2),再次求导可得,点睛意到在上单调递增, 所以,下面根据的正负进行讨论: (1)当即时,单调递增,所以, 得在单调递增,故,满足题意. (2)当即时,令, 则当时,单调递减, 此时单调递减, 因此,当时,,即不合题意. 综上所述,的取值范围是. 【点睛】点睛意区间端点0满足当在单调递增时必定满足题意.由,这里得到一个参数的范围,然而,这仅仅是一个必要条件.还需说明当时不合题意,才能得到的取值范围是.两种情形的分类讨论实际上是两次与间的连锁反应: ①当时,在上递增.这是符合题意的“端点效应”产生的连锁反应; ②当时,在上递减.这是不合题意的“端点效应”产生的连锁反应. 结合①②两点,便得参数的准确范围是. 由例1可以看出:所谓的“端点效应法”,是先考虑“端点效应”,再结合“矛盾区间”得出参数的取值范围的方法.“端点效应矛盾区间”,这是一个完整的解题过程,其重点在于“矛盾”而非“端点”.缺少“矛盾区间”说明的解法,得到的仅仅是一个必要条件,显然过程是不完整的.当然,说明“矛盾”的时候,只需举一个反例即可,并非一定要用到“矛盾区间”. 【例2】已知函数既存在极大值,又存在极小值. (1)求实数的取值范围; (2)当时,分别为的极大值点和极小值点.且,求实数的取值范围. 【解析】(1),因为存在极大值和极小值,所以方程有两个不等实根,所以且.这是必要条件,下面证明充分性. 令,解得,或, ①当时,,当或时,单调递增;当时,单调递减, 故当时,取得极大值,当时,取得极小值; ②当时,, 所以,当或时,单调递增; 当时,单调递减, 故当时,函数取得极小值,当时,函数取得极大值, 综上所述,的范围为. (2)当时,由(1)可知的极大值点为,极小值点为, 所以, 因为,令, 因为对任意恒成立, 由于此时在上单调递减,所以,故, 故,即, 设, 当时,, 故在递增, 故,即,符合题意, 当时,,设的两根为,且, 则,故, 则当时,递减, 故当时,,即,矛盾,不合题意, 综上,,即,所以,故的取值范围为. 【例3】已知函数. (1)探究函数单调性; (2)若在上恒成立,求实数的取值范围. 【解析】在上单调递减,在上单调递增. (2)依题意在上恒成立. 令,则, 令,则是上的增函数,即. ①当时,,所以, 因此是上的增函数,则, 因此时,成立. ②当时,令,得, 求得,(由于,所以舍去) 当时,,则在上递减, 当时,,则在上递增, 所以当时,, 因此时,不可能恒成立. 综