第4讲 局部隔离法 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第4讲 局部隔离法 知识纵横 局部隔离法本来是物理力学中的一种方法,本来是指把要分析的物体从相关物体体系中隔离出来,作为研究对象,只分析该研究对象以外物体对该对象的作用力,不考虑研究对象对其它物体的作用力.我们在解决数学中的恒成立问题时,也常常借助这一方法,利用整体与局部的观点,隔离出局部的代数式,通过充分研究该代数式,使所研究的代数式结构特点进行凸显,进而解决整个问题. 典型例题 原函数中的局部隔离式 【例1】已知函数,如果当,且时,,求的取值范围. 【例2】已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求在内的单调区间. (2)设函数,证明:. 【例3】已知函数满足;若,求的最大值. 导函数中的因式分解 【例4】已知函数.当时,恒成立,求实数的取值范围. 【例5】已知函数. (1)若,求证:当时,; (2)若存在,使,求实数的取值范围. 【例6】已知函数. (1)求函数的图象在处的切线方程; (2)若任意,不等式恒成立,求实数的取值范围; (3)设,证明:. 强化训练 1.已知函数. (1)设函数,讨论的单调性; (2)当时,恒成立,求的取值范围. 2.已知不等式对任意恒成立,求实数的取值范围. 3.已知函数. (1)求的单调区间; (2)若恒成立,求实数的取值范围. 4.已知函数,当时,恒有,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 局部隔离法 知识纵横 局部隔离法本来是物理力学中的一种方法,本来是指把要分析的物体从相关物体体系中隔离出来,作为研究对象,只分析该研究对象以外物体对该对象的作用力,不考虑研究对象对其它物体的作用力.我们在解决数学中的恒成立问题时,也常常借助这一方法,利用整体与局部的观点,隔离出局部的代数式,通过充分研究该代数式,使所研究的代数式结构特点进行凸显,进而解决整个问题. 典型例题 原函数中的局部隔离式 【例1】已知函数,如果当,且时,,求的取值范围. 【解析】由题意知.令,则 (i)当时,由知,当时,.而, 故当时,,可得; 当时,,可得. 从而当,且时,,即. (ii)当时.由于当时,,故,而,故当时,,可得,与题设矛盾. (iii)当时.此时,而, 故当时,,可得,与题设矛盾. 综上所述,的取值范围为. 【点睛】本题点睛意到,于是构造部分函数,则,求导得,对进行分类讨论,判断出的符号,进而解决问题.将对数单独作为一项,只需求导一次,便不再出现对数符号了. 【例2】已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求在内的单调区间. (2)设函数,证明:. 【解析】(1)因为,所以.又, 所以. 当时,;当时,. 所以在的单调递减区间为,单调递增区间为. (2)证明:由(1)知. 设函数,则. 当时,;当时,. 所以, 所以. 设函数,则,设, 则,令,得, 则, 所以,从而为增函数,则, 因此,故. 【点睛】本题第问证明的关键是将函数进行因式分解,得到,然后分别考虑两个局部式子与的范围,即可得证. 事实上,本题由下面两个常见的不等式“拼凑”而成:与. 由(1),由(2), (1)(2)两式相乘可得,即. 【例3】已知函数满足;若,求的最大值. 【解析】由题意, 令得,所以,即 所以, 所以, 设. 的图像是过的曲线,曲线随着的增大值增大且图像下凹. 的图像是过点且斜率为的直线,如图. 由,则曲线必在直线的上方或曲线与直线相切. 设曲线与直线的切点为,曲线在点的切线方程为,切线的斜率为,在轴上的截距为. 又直线的斜率为,在轴上的截距为,则有, 所以, 设, 当;当, 故有最大值,所以,的最大值为. 【点睛】(1)变形后的不等式两端的式子分别设为两个函数.一般的,两个函数中应有一个一次函数或常函数(因为一次函数或常函数的图像为直线,便于观察). (2)由不等式关系找出函数图像的位置关系,根据直线的斜率、截距意义列式求解. 导函数中的因式分解 【例4】已知函数.当时,恒成立,求实数的取值范围. 【解析】当时,,即, 令 设, 当单调递增, 故, 所以当时,单调递减; 当时,单调递增, 所以, 所以,即实数的取值范围是. 【点睛】本题通过将导数通分、因式分解,考虑局部隔离式,由熟知的不等式可知,只需根据的正负就可以判断出的符号,得到的单调区间,进而解决问题. 【例5】已知函数. (1)若,求证:当时,; (2)若存在,使,求实数的取值范围. 【解析】(1)当. 设. 因为,从而, 所以在上单调递增,又, 所以时,,从而在上单调递增, 所以,即,即. 所以当时,. (2)若存在,使得,即, 即存在,使得. 设,则. 设, 所以在上单调递增. 当时,,所以在恒成立, 所以在恒成立,所以在单调递增. 由于,所以,从而由,进而得. 【点睛】对于本题的第问,隔离出局部式,通过研究的性质,得到符号的