第5讲 洛必达法则 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

洛必达法则 知识与方法 与函数导数相关的压轴题,一般需要确定函数的值域和参数的取值范围,其传统做法是构造函数,然后通过分类讨论,求导分析单调性进行,过程相对复杂繁琐,且分类的情况较多.并且我们采用分离参数时,往往还会出现最值难以求解的情况,这时,我们就可以考虑使用“洛必达法则”来简化解题过程,快速解题. 下面,我们先来介绍一下洛必达法则： 法则1: 若函数和满足下列条件: (1)及; (2)在点的去心邻域内,与可导,且; (3). 那么. 法则2: 若函数和满足下列条件: (1)及; (2)和在与内可导,且; (3). 那么. 法则3: 若函数和满足下列条件: (1)及; (2)在点的去心邻域内,与可导,且; (3). 那么. 利用洛必达法则解题时,应点睛意: ①将上面公式中的换成,洛必达法则也成立. ②洛必达法则可处理型. ③在着手求极限以前,首先要检查是否满足型定式,否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限. ④若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止. 典型例题 【例1】已知. (1)求的单调区间; (2)若对于任意,不等式成立,求的取值范围. 【例2】设函数,其中. (1)讨论函数极值点的个数,并说明理由; (2)若成立,求的取值范围. 【例3】已知. (1)当时,讨论的单调性; (2)若在上单调递增,求实数的取值范围; (3)令,存在,且,求实数的取值范围. 强化训练 1.已知函数,若当时,恒有成立,求实数的取值范围. 2.已知函数. (1)若函数在点处的切线经过点,求实数的值; (2)若关于的方程有唯一的实数解,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛必达法则 知识与方法 与函数导数相关的压轴题,一般需要确定函数的值域和参数的取值范围,其传统做法是构造函数,然后通过分类讨论,求导分析单调性进行,过程相对复杂繁琐,且分类的情况较多.并且我们采用分离参数时,往往还会出现最值难以求解的情况,这时,我们就可以考虑使用“洛必达法则”来简化解题过程,快速解题. 下面,我们先来介绍一下洛必达法则： 法则1: 若函数和满足下列条件: (1)及; (2)在点的去心邻域内,与可导,且; (3). 那么. 法则2: 若函数和满足下列条件: (1)及; (2)和在与内可导,且; (3). 那么. 法则3: 若函数和满足下列条件: (1)及; (2)在点的去心邻域内,与可导,且; (3). 那么. 利用洛必达法则解题时,应点睛意: ①将上面公式中的换成,洛必达法则也成立. ②洛必达法则可处理型. ③在着手求极限以前,首先要检查是否满足型定式,否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限. ④若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止. 典型例题 【例1】已知. (1)求的单调区间; (2)若对于任意,不等式成立,求的取值范围. 【解析】的定义域为, ,则, 所以当时,;当时,. 所以在单调递减,在单调递增, 所以时,,即在上单调递增. 所以的单调递增区间为,无减区间. (2)解法1:分离参数洛必达法则 对任意,不等式成立等价于对任意恒成立. 当时,; 对任意,不等式恒成立等价于对任意恒成立. 记, 则 . 记, 则, 所以在单调递减,又, 所以时,,所以在单调递减. 所以.综上所述,实数的取值是. 解法2:直接讨论+分类讨论 “对任意,不等式恒成立”等价于“对任意,不等式恒成立”.令, 则, 令,则. ①当,即时,因为, 所以,所以,从而在上单调递减, 又,所以时,, 即,所以在上单调递减, 又,所以当时,,即符合题意; ②若,即时, 所以时,, 即,所以在单调递增. 所以当时,,故不符合题意. ③若时,则恒成立,所以在上单调递增, 故当时,, 即,所以在上单调递增, 所以当时,,故恒成立. 综上所述,实数的取值范围是. 解法构造函数+分类讨论 对任意,不等式恒成立等价于对任意恒成立. 令, 则,记. ①当时,,此时在单调递减, 又,所以时,,即对任意恒成立; ②当时,,此时在单调递增,又, 所以时,,即对任意恒成立,不符合题意; ③当时,不等式转化为,显然不成立; ④当,且时,方程的二根为. 若,则在单调递增, 又,所以,即不等式不恒成立; ⑤若,则在上单调递增, 又,所以时,, 即不等式不恒成立,不符合题意. 综上所述,实数的取值范围是. 【点睛】通过此例,我们可以发现使用“洛必达法则”的好处,可以较为简单地解决问题,在恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离较易理解,但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最