第7讲 直接讨论 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

直接讨论 知识与方法 直接讨论法是指在证明不等式时,可以通过求导得到函数的极值或最值,再对极值或最值进行讨论或比较的方法,关键在于求得极值点的过程,常用的手段为观察法、因式分解法、求根公式法等,对于有时无法求出极值点的情况,还可以借助于零点存在性定理进行讨论,进而研究出函数的最值. 典型例题 【例1】已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)若函数,当时,求证:. 【例2】已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时,证明:. 【例3】已知函数,若曲线在1处的切线方程为. (1)求实数的值; (2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围; (3)设,其中, 证明:. 强化训练 1..已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时,证明:. 2.已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)设,当时,证明:. 3..已知函数. (1)当时,证明:对恒成立; (2)若函数在存在极大值点,求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 直接讨论 知识与方法 直接讨论法是指在证明不等式时,可以通过求导得到函数的极值或最值,再对极值或最值进行讨论或比较的方法,关键在于求得极值点的过程,常用的手段为观察法、因式分解法、求根公式法等,对于有时无法求出极值点的情况,还可以借助于零点存在性定理进行讨论,进而研究出函数的最值. 典型例题 【例1】已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)若函数,当时,求证:. 【解析】(1)因为的定义域为,且;当时,恒成立,此时的单调递增区间是,无递减区间;当时,当时,单调递增;当时,单调递减. 所以的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)因为,且, 所以,所以在上单调递增. 所以,. 即当时,. 【例2】已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时,证明:. 【解析】(1)因为,定义域为 所以. 因为,所以当时,, 函数在内单调递减,在内单调递增; 当时,, 函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增; 当时,函数在内单调递增; 当时,,函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增. (2)当时,由得,函数在内单调递减,在内单调递增. 函数在内的最小值为. 欲证不等式成立, 即证,即证 因为,所以只需证. 令所以. 所以函数在内单调递减,. 因为,所以. 所以,即当时,成立. 所以当时,. 【例3】已知函数,若曲线在1处的切线方程为. (1)求实数的值; (2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围; (3)设,其中, 证明:. 【解析】(1)由,得; 由. 根据题意可得解得; (2)解法1:直接讨论法 由不等式对任意恒成立知恒成立, 令,显然为偶函数,故当时,恒成立. 显然为上的增函数,故, 即在上单调递增,. (1)当,即时,,则有在上单调递增, 故,则在上单调递增,故,符合题意; (2)当,即时,因为, 故存在,使得, 故在上单调递减,在上单调递增, 当时,,故在上单调递减, 故与矛盾. 综上,. 解法2:分离参数法+洛必达法则 由不等式对任意恒成立,知恒成立. 当时,不等式成立; 当时,, 令,由于为偶函数,故只需考虑的情况即可. 当时,. 今, 令, 当时,,故在上单调递增, 故. 因此当时,,故在上单调递增, 即有,故,所以在上单调递增, 由洛必达法则有,故. (3), 由(2)知,当且仅当时,等号成立; ,当且仅当时,等号成立. 故,当且仅当时等号成立. 因此有 以上个式子相加得 强化训练 1..已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时,证明:. 【解析】(1)由,可得 当时,,则函数在上为增函数, 当时,由,可得,由,可得 则函数在上为增函数,在上为减函数; (2)证明:令, 令,则, 因为,所以 又,所以 所以在上为增函数,则,即, 由,可得, 所以. 2.已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)设,当时,证明:. 【解析】的定义域为,当时, 当时, 所以当时,在上单调递减,在单调递增; 当时,在上单调递增,在单调递减; (2)证明:设, 则, 因为,所以当时,单调递减; 当时,单调递增, 所以. 设,则, 当时递增;当时递减, 所以,所以,所以即得证. 3..已知函数. (1)当时,证明:对恒成立; (2)若函数在存在极大值点,求的最小值. 【解析】(1)当时,, 要证对恒成立, 即证对恒成立, 即证对恒成立, 令, 则, 故在单调递增, 又,故,即, 故在上恒成立; (2), 所以, 因为在上存在极大值点, 所以是方程的解, 即的解,所以 因为,所以,所以, 故, 设, 则,令,解得:或(舍去), 故当时,;当时,, 所以在上单调递减,在上单调递增, 故, 即的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $