第9讲 综合分析法 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第9讲 综合分析法 知识与方法 从要证的结论出发,逐步寻求不等式成立的充分条件,直到归结为判定一个显然成立的条件为止,从而证明不等式的正确性、合理性的论证方法,称为分析法.其证明思路是“执果索因”,故也称为因果分析、逆推论证或执果索因法.分析法是一种证明不等式很有效的方法,也是解决数学难题的重要方法. 典型例题 【例1】已知,函数,其中为自然对数的底数. (1)证明:函数在上存在唯一零点; (2)记为函数在上的零点,证明: (i); (ii). 【例2】已知函数存在唯一的极值点. (1)求实数的取值范围; (2)若,证明:. 【例3】已知函数, (1)求的单调区间; (2)证明:在且时,不等式恒成立. 强化训练 1.函数(为实常数)在处的切线与直线平行. (1)求的值; (2)求的单调区间; (3)证明当时,. 2已知函数. (1)当时,讨论的单调性; (2)若,证明:. 3.已知,函数,其中为自然对数的底数. (1)证明:函数在上有唯一零点; (2)记为函数在上的零点,证明:.(参考数值:) 4.已知函数,且在处的切线与 垂直. (1)若函数在存在单调递增区间,求实数的取值范围; (2)若有两个极值点,且,求的取值范围;(3)在第二问的前提下,证明:. 5.已知,设,且,记; (1)设,其中,试求的单调区间; (2)试判断弦的斜率与的大小关系,并证明; (3)证明:当时,. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 综合分析法 知识与方法 从要证的结论出发,逐步寻求不等式成立的充分条件,直到归结为判定一个显然成立的条件为止,从而证明不等式的正确性、合理性的论证方法,称为分析法.其证明思路是“执果索因”,故也称为因果分析、逆推论证或执果索因法.分析法是一种证明不等式很有效的方法,也是解决数学难题的重要方法. 典型例题 【例1】已知,函数,其中为自然对数的底数. (1)证明:函数在上存在唯一零点; (2)记为函数在上的零点,证明: (i); (ii). 【解析】(1)因为,因为,所以, 所以,所以在上单调递增, 因为,所以, 所以由零点存在定理得在上有唯一零点; (2)解法1:分析法证明 因为单调,,设的最大值为, 则,所以,则. 先证: 由于时,, 且,则,所以. 再证: 要证明,即证明,只需证明. 记,则. 所以在上单调递减,在上单调递增, 所以, 所以在时单调递减,. 从而成立. 综上,可知. (ii)要证明,只需证, 只需证. 因为,所以只需证, 只需证,即证. 因为, 所以, 所以. 解法2: (i)因为,所以, 所以, 令, 一方面:, 所以,所以在单调递增,所以, 所以. 另一方面:因为,所以,所以当时,成立, 因此只需证明当时, 因为 当时,,当时,, 所以,因为,所以, 所以在单调递减,所以,所以, 综上,所以,所以. (ii)t, 因为, 所以 因为,所以, 所以. 只需证明, 即只需证明, 则, 所以,即成立, 因此. 【例2】已知函数存在唯一的极值点. (1)求实数的取值范围; (2)若,证明:. 【解析】(1)函数的定义域为. 令. 若,则在上单调递增,不符合题意; 若,则,令,得, 所以在上单调递减, 在上单调递增,. (i)当,即时, 在上单调递增,不合题意; (ii)当,即时,,且. 设在上恒成立,, 所以在上恒成立,即. 易知,则, 所以在上有两个变号零点,所以有两个极值点,不合题意; 若,则,则在上单调递减,且, ,故存在唯一,使得,且当时, ;当时,. 所以是唯一的极值点,符合题意. 综上所述,实数的取值范围是. (2)解法1:分析法 要证,只需证, 即证. 由(1)可知,,因为, 所以, 所以只需证, 由(1)可知,函数在上单调递减, 所以, 即, 即, 即所以, 所以原不等式成立. 解法2:综合法 由(1)可知,,因为, 所以. 由(1)可知函数在上单调递减, 所以, 即, 所以, 即,即, 所以. 【例3】已知函数, (1)求的单调区间; (2)证明:在且时,不等式恒成立. 【解析】的单调增区间为,没有单调递减区间. (2)解法1:分析法 (1)当时,因为,且, 所以,而,所以显然成立; (2)当时,因为,所以. 要证,只需证,即证, 而显然成立,故此时. 综上所述,在且时,不等式恒成立. 解法2:直接讨论法 在时,有,则. (1)在时,有,因此成立; (2)在时,设, 则. 令, 在时,,所以, 所以,所以,因此成立. 综上知,在且时,不等式恒成立. 【点睛】使用的不等式:当时,及均需要证明. 强化训练 1.函数(为实常数)在处的切线与直线平行. (1)求的值; (2)求的单调区间; (3)证明当时,. 【解析】函数的单调递增区间为,递减区间为; (3)证明:当时,,即为. 由可得