第10讲 兵分两路 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第10讲 兵分两路 知识与方法 对于一些较为复杂的函数,如果通过直接构造一个函数很难或根本就无法解决时,可尝试通过等价转化,适当变形,转化为两个函数来处理,问题可能会得到极大的简化,从而达到顺利证明的目的.我们称这种证明方法为兵分两路.本节我们来说明这种方法的使用. 典型例题 和与差的拆分 在证明不等式中,将不等式的两边分别视为函数,对于求证的题目,我们只需证明恒成立即可,从而便可得到结论,此处与取到最值的条件不是同一个“”的值便可以保证“”取不到. 【例1】已知函数. (1)若曲线在点处的切线过点,求实数的值; (2)当时,证明:. 【例2】已知函数. (1)略; (2)若为的导函数,证明:当时,. 分拆与整合 导数是用来研究连续函数性态的强有力的工具.除在高中阶段所认识的一系列基本初等函数外,高考导数的压轴试题常出现或需要构造下列六种典型的函数模型来辅助解题: 命题人经常立足于上述六个函数命题一定的题目.若在同一试题中出现了两种或两种以上的典型函数,则此时往往人工不可能求其极(最)值.此时,就需要处用函数“分拆”的手段,将原不等式分拆成一些可求局部最值的两个函数或更多个函数,通过分拆与二次整合的相互配合,可将原不等式的问题转化为求局部函数的最值问题,然后分别求两个函数的最值即可达到解决问题的目的. 【例3】已知函数. (1)讨论的单调区间; (2)当时,证明:. 凹凸反转法 所谓“凹凸反转”,就是在证明函数不等式时,将待定不等式进行合理变形,将问题转化为比较一个函数的最小值与另一个函数的最大值的大小比较问题.这是一种较为常规的证明不等式的技巧,若要成功分离出两个具有最值的函数,首先需要对一些常见函数的变化趋势非常熟悉,而且对对数与指数的运算非常熟悉.一般来说,需要熟练掌握以下几类函数: (1)有极小值点.特别地,有极小值点,极小值为0.更一般地,有极小值点(可将整体换元); (2)有极大值点.特别地,有极大值点1,极大值为.更一般地,有极大值点(可将整体换元); (3)有极小值点.特别地,有极小值点,极小值为.更一般地,有极小值点(可将整体换元); (4)有极大值点.特别地,有极大值点,极大值为.更一般地,有极大值点(可将整体换元. 简而言之,就是记住以下几个不等式及其取等条件,然后利用代数变形,“心算”出相关函数的最值点和最值. (1)时,“=”成立时,“=”成立); (3)时,“=”成立);(4)时,“=”成立; (5)时,“=”成立 【例4】已知函数. (1)设是的极值点,求实数的值,并求的单调区间; (2)证明:当时,. 【例5】已知函数.(1)若函数存在极小值点,求实数的取值范围; (2)当时,证明:. 【例6】已知. (1)若对一切恒成立,求实数的取值范围; (2)证明:对一切,都有成立. 强化训练 1.已知函数,求证:. 2.设函数曲线在点处的切线方程为. (1)求; (2)证明:. 3.已知函数,其中为参数. (1)求的极值; (2)设,证明当时,恒成立. 4.已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)求证:. 5.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)当时,证明:对于任意的成立. 6.已知函数. (1)求的极值; (2)设,求证:. 即,所以原不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 兵分两路 知识与方法 对于一些较为复杂的函数,如果通过直接构造一个函数很难或根本就无法解决时,可尝试通过等价转化,适当变形,转化为两个函数来处理,问题可能会得到极大的简化,从而达到顺利证明的目的.我们称这种证明方法为兵分两路.本节我们来说明这种方法的使用. 典型例题 和与差的拆分 在证明不等式中,将不等式的两边分别视为函数,对于求证的题目,我们只需证明恒成立即可,从而便可得到结论,此处与取到最值的条件不是同一个“”的值便可以保证“”取不到. 【例1】已知函数. (1)若曲线在点处的切线过点,求实数的值; (2)当时,证明:. 【解析】(1).(2)由题意,欲证, 只需证. 记.则, 从而易知在处有极大值也是最大值. 记.则,易知在递增, 且, 因此有最小值. 而, 从而即证,也即. 【例2】已知函数. (1)略; (2)若为的导函数,证明:当时,. 【解析】(1)略 (2)当, 则. 设. 由,则可得,当且仅当时取等号; ,设,则在上单调递减, 因为, 故存在,使得当时,,当时,. 所以在上单调递增,在上单调递减, 由于,所以,当且仅当时取等号. 因此,当时,. 【点睛】本例,如果我们直接求解函数上在上的最值情况,则需要用到多次求导,运算较为繁琐,甚至会出现最后难以处理的局面.这里,我们把分拆成这两个函数,而这两个函数在上最值情况又是非常容易处理的,从而顺利地达到了证题目标 分拆与整合 导数是用来研究连