第11讲 代数变形 讲义——2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第11讲 代数变形 知识与方法 代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种手段,将一个问题等价地变为另一个问题,由一种复杂的形式转变为一种简单的形式,将整个数学问题转变为一个较为容易处理或熟悉的问题. 在处理含对数或指数式时,有如下两个技巧: 1.对数处理技巧——对数靠边走 设是可导函数,不难得到,若不是常函数,则所得的导数式中含有,往往需要再次甚至多次求导.对于这类含有对数式的不等式问题时,通常要让对数型的函数分离出来,把对数型函数前面所乘的代数式或分母中的代数式处理掉,让对数型函数形成单独的一项,这样再对新函数求导,只需要求导一次即可求出函数的极值点,从而避免了多次求导的麻繁.这种让对数函数“孤军奋战”的代数变形过程,我们称其为对数处理技巧,即“对数靠边走”. 相关的转化如下: 情形1设; 情形2设. 点睛意到： 比较(1)(2)两式中等号右边的部分,可知(1)式含有对数,但(2)式中不含对数,这将为后续的解题带来方便. 2.指数处理技巧——指数找朋友 在证明或处理含指数型函数的不等式时,通常要让指数型函数乘以或除以一个多项式函数(让多项式除以指数也一样),这样就很容易求出新函数的极值点,从而可以避免多次求导.这种相当于给指数函数寻找了一个合作伙伴的变形过程,我们称之为指数处理技巧,即“指数找朋友”. 相关的转化如下: 情形1设,则; 情形2设,则; 情形3设,则; 情形4设,则. 因为. 所以, . 使用上述变形,可以减少求导次数,优化解题过程. 典型例题 对数靠边走 【例1】当时,求证:. 【例2】若不等式对所有成立,求实数的取值范围. 【例3】设二次函数对任意实数都满足,且,令. (1)求的表达式; (2)设.证明:对任意,恒有 指数找朋友 【例4】已知函数.求证:. 【例5】已知函数,是自然对数的底数.若的极大值为,求不等式的解集. 【例6】求证:. 指对处理技巧的综合运用 【例7】已知函数为自然对数的底数). (1)若存在,使得,求实数的取值范围; (2)若有两个零点.证明:. 典型例题 1.证明:当时,. 2.已知函数. (1)证明:当时,; (2)若,求. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 代数变形 知识与方法 代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种手段,将一个问题等价地变为另一个问题,由一种复杂的形式转变为一种简单的形式,将整个数学问题转变为一个较为容易处理或熟悉的问题. 在处理含对数或指数式时,有如下两个技巧: 1.对数处理技巧——对数靠边走 设是可导函数,不难得到,若不是常函数,则所得的导数式中含有,往往需要再次甚至多次求导.对于这类含有对数式的不等式问题时,通常要让对数型的函数分离出来,把对数型函数前面所乘的代数式或分母中的代数式处理掉,让对数型函数形成单独的一项,这样再对新函数求导,只需要求导一次即可求出函数的极值点,从而避免了多次求导的麻繁.这种让对数函数“孤军奋战”的代数变形过程,我们称其为对数处理技巧,即“对数靠边走”. 相关的转化如下: 情形1设; 情形2设. 点睛意到： 比较(1)(2)两式中等号右边的部分,可知(1)式含有对数,但(2)式中不含对数,这将为后续的解题带来方便. 2.指数处理技巧——指数找朋友 在证明或处理含指数型函数的不等式时,通常要让指数型函数乘以或除以一个多项式函数(让多项式除以指数也一样),这样就很容易求出新函数的极值点,从而可以避免多次求导.这种相当于给指数函数寻找了一个合作伙伴的变形过程,我们称之为指数处理技巧,即“指数找朋友”. 相关的转化如下: 情形1设,则; 情形2设,则; 情形3设,则; 情形4设,则. 因为. 所以, . 使用上述变形,可以减少求导次数,优化解题过程. 典型例题 对数靠边走 【例1】当时,求证:. 【解析】因为,所以. 令, 所以在上为增函数. 所以,所以时,, 即. 【例2】若不等式对所有成立,求实数的取值范围. 【解析】原问题等价于对所有的都成立.令,则. (1)当时,恒成立, 即在上单调递增,因而恒成立; (2)当时,令,得在上单调递减,在上单调递增,所以,不符合题意. 综上所述,实数的取值范围是. 【例3】设二次函数对任意实数都满足,且,令. (1)求的表达式; (2)设.证明:对任意,恒有 【解析】(1)设, 所以 . 比较两边的系数得所以,所以. 又因为,所以,所以,所以. (2). . 所以在上单调递减, 所以, . 所以. 下面只需证.(可采用对数靠边走,将对数独立出来) 即证明. 令. 所以在上单调递增,所以. 而, 所以,所以,即. 【点睛】上面解法的优势在于,将的系数化为“1”后,就可以有效避免求导后再出现对数函数,避免了隐零点出现,这是解决对数型函数的精华所在. 指数找朋友 【例4】已知函数.