第12讲 数形结合与巧用放缩法 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第12讲 数形结合与巧用放缩法 知识与方法 数形结合思想就是根据试题中给出的条件和结论,考虑几何含义来证明不等式.若想要运用好数形结合思想,必须灵活地把抽象笼统的数量关系式与直观明了的图形结合起来,然后在几何与代数的背景下寻找解题的突破口.数形结合有两种情况:一是以数解形,二是以形助数,而通常情况下我们是以形助数来解题,所谓“以形助数”就是构造出与题意相吻合的图形,并通过图象的性质来帮助解决“数”的问题. 典型例题 【例1】已知函数有两个极值点(e为自然对数的底数). (1)求实数的取值范围; (2)求证:. 【例2】已知函数,且曲线在点处的切线与直线0垂直. （1）求函数的单调区间; (2)求证:时,. 强化训练 1.若关于的不等式有且仅有两个整数解,则实数的取值范围为 A. B. C. D. 2.已知关于的不等式的解集中只有两个整数,则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 3.已知函数.(1)讨论的单调性; (2)定义:对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点.如果函数存在不动点,求实数的取值范围. 巧用放缩法 知识与方法 放缩法就是针对不等式的结构特征,运用不等式的性质,将不等式的一边或两边进行放大或缩小,也就是对代数式进行恰到好处的变形,使问题便于解决. 放缩法大致分为以下几类: 1.将代数式中的分母和分子同时扩大和缩小; 2.利用均值不等式或其它的不等式放缩数式; 3.也可以在不等式两边同时加上或减去某一项; 4.可以把代数式中的一些项进行分解再重新组合,这样就可以消去一些项便于求解,这也是我们常用的裂项法. 导数的解答题中,经常会用到一些不等式进行放缩,主要分为五类: 1.切线不等式 (1);(2)(4). 2.与三角有关的一些不等式 (1)当时,; (2)当时,; (3)当时,; (4)当时,. 3.一些常见不等式(稍微提高) (1)当时,; (2)当时,; (3)对数平均不等式:. 4.一些不常见的不等式 (1)当时,; (2)当时,;当时,. 5.偶尔用上的不等式 当时,则:. （当且仅当时等号成立.) 在解答导数问题时,我们经常使用到函数的切线、割线逼近进行放缩,两个常用的结论为(当且仅当时取等号),(当且仅当时取等号),借助这两个结论可以将超越函数放缩成一次函数.针对高考压轴导数问题,放缩法可以起到很好的效果.使用放缩法需要较高的拆分组合技巧,一定要点睛意同向传递,还要把握好放缩的“尺度”,否则将达不到预期的目的,或者会得出错误的结论. 典型例题 指数放缩 【例1】已知函数(其中常数,是自然对数的底数). (1)讨论的单调性; (2)证明:对任意的,当时,. 对数放缩 【例2】已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)证明:在且时,恒成立. 指对混合放缩 【例3】已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)证明:. 【例4】已知函数,且曲线在处的切线方程为. (1)求的值; (2)求函数在上的最小值; (3)证明:当时,. 三角放缩 【例5】设,且,函数. (1)若在区间上有唯一极值点,证明:; (2)若在区间没有零点,求的取值范围. 含三角函数的指对放缩 【例6】已知函数,其中. (1)求证:当时,无极值点; (2)若函数,是否存在,使得在处取得极小值?并说明理由. 【例7】已知函数,函数,且. (1)讨论函数的单调性; (2)证明:当时,; (3)证明:当时,. 强化训练 1.已知函数在处取得极值. (1)求,并求的单调区间; (2)证明:当时,. 2.已知函数. (1)若曲线存在一条切线与直线垂直,求的取值范围. (2)证明:. 3.已知函数. (1)当时,求的单调区间; (2)为自然对数的底数,若时,恒成立,证明:. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 数形结合与巧用放缩法 知识与方法 数形结合思想就是根据试题中给出的条件和结论,考虑几何含义来证明不等式.若想要运用好数形结合思想,必须灵活地把抽象笼统的数量关系式与直观明了的图形结合起来,然后在几何与代数的背景下寻找解题的突破口.数形结合有两种情况:一是以数解形,二是以形助数,而通常情况下我们是以形助数来解题,所谓“以形助数”就是构造出与题意相吻合的图形,并通过图象的性质来帮助解决“数”的问题. 典型例题 【例1】已知函数有两个极值点(e为自然对数的底数). (1)求实数的取值范围; (2)求证:. 【解析】(1)由于,则, 设,则. 令,解得. 所以当时,;当时,. 所以. (1)当时,,所以函数单调递增,没有极值点; (2)当时,,且当时,; 当时,. 此时,有两个零点,不妨设,则,所以函数有两个极值点时,实数的取值范围是; (2)由(1)知,为的两个实数根,在上单调递减. 下面先证,只需证. 由于,得, 所以. 设,则