第13讲 虚设零点 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第13讲 虚设零点 知识与方法 在高考导数压轴题中,经常会遇到导函数具有零点,但求解相对比较复杂甚至无法求解的问题.此时,可以将这个零点只设出来而不必求解出来,然后谋求一种整体的转换和过渡,再结合其它条件,从而使问题得以最终解决,我们称这种解题方法为“虚设零点”法. 如果是超越形式(对字母进行有限次初等超越运算包括无理次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算的解析式,称为初等超越式,简称超越式),并且的零点是存在但无法求出,这时可采用虚设零点法,逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式,然后分析出相应的函数的单调性,最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果.通过这种形式化的合理代换或推理,谋求一种整体的转换和过渡,从而将超越式转化为普通式,有效破解求解或推理中的难点. 典型例题 整体代换 【例1】设函数. (1)讨论的导函数的零点个数; (2)证明:当时,. 【例2】已知函数. (1)讨论函数零点的个数; (2)证明:. 反代消参 【例3】已知函数. (1)若的最大值是0,求的值; (2)若对其定义域内任意恒成立,求的取值范围. 【例4】已知函数. (1)若函数在上单调递增,求的取值范围; (2)若,证明:当时,. 参考数据:. 【例5】已知函数. (1)求曲线在处的切线方程; (2)当时,设函数,若是在上的一个极值点,求证:是在上的唯一极大值点,且. 强化训练 1.已知函数有两个极值点,证明:. 2.已知函数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 虚设零点 知识与方法 在高考导数压轴题中,经常会遇到导函数具有零点,但求解相对比较复杂甚至无法求解的问题.此时,可以将这个零点只设出来而不必求解出来,然后谋求一种整体的转换和过渡,再结合其它条件,从而使问题得以最终解决,我们称这种解题方法为“虚设零点”法. 如果是超越形式(对字母进行有限次初等超越运算包括无理次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算的解析式,称为初等超越式,简称超越式),并且的零点是存在但无法求出,这时可采用虚设零点法,逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式,然后分析出相应的函数的单调性,最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果.通过这种形式化的合理代换或推理,谋求一种整体的转换和过渡,从而将超越式转化为普通式,有效破解求解或推理中的难点. 典型例题 整体代换 【例1】设函数. (1)讨论的导函数的零点个数; (2)证明:当时,. 【解析】(1)的定义域为. 当时,没有零点; 当时,因为,所以在单调递增. 又,又当时,得, 取且,则, 故由零点存在定理知:当时,存在唯一零点. 综上,当时,没有零点;当时,有一个零点. (2)由知在存在唯一零点, 当时,单调递减; 当时,单调递增. 所以, 同时,即,即, 所以, 故当时,. 【点睛】可转化为求,而的最小值恰好在的零点处取得,但是这个零点无法求得,这个时候我们可以利用零点满足的关系式(必要的时候需要一些变形来化简的表达式,思想是将超越式消掉,即尽量不含,等;本题是化简后利用了均值不等式得到所证结果. 【例2】已知函数. (1)讨论函数零点的个数; (2)证明:. 【解析】(1)函数的定义域为,则. 当时,没有零点; 当时,单调递增,, 由零点存在性定理,得在区间内有唯一零点. 综上可得,函数只有一个零点. (2)证明:要证, 即证. 令定义域为,则 . 由(1)知,在区间内有唯一零点,设其为,则(1) 因为,且在区间上单调递增, 所以当时,单调递减; 当时,单调递增. 所以. 由式(1)可得,所以. 又时,恒成立, 所以,得证. 反代消参 【例3】已知函数. (1)若的最大值是0,求的值; (2)若对其定义域内任意恒成立,求的取值范围. 【解析】(1)定义域为. 若单调递增,函数无最大值; 若时,. 当时,单调递增; 当时,单调递减. 所以的最大值为,得. (2). 从而.设. 设,则. 由于,所以存在使得. 当时,单调递减; 当时,单调递增; 从而的最小值为. 由于满足,所以, 两边取对数,得, 由于单调递增,所以, 所以,所以. 所以,从而,故实数的取值范围是. 【例4】已知函数. (1)若函数在上单调递增,求的取值范围; (2)若,证明:当时,. 参考数据:. 【解析】(1),因为函数在递增, 所以恒成立,得, 设,则,令,解得:, 当时,,当时,, 故函数在递减,在递增, 故时,取得最小值, 故,即的范围是. (2)若,则,得, 易知函数在递减,在递增, 且点睛意到, 则存在,使得,即, 当时,,当时,, 则函数在递减,在递增, 则当时,函数取最小值 函数在单调递减, 所以 故时,. 【例5】已知函数. (1)求曲线在处的切线方程; (2)当时,设