第14讲 泰勒展开式 讲义——2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

泰勒展开式 知识与方法 泰勒展开式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的阶多项式来逼近函数的方法.在导数题目中命制中,泰勒展开式最大的作用就是把超越函数与初等函数联系起来,使高等数学问题具有初等解法,最常用的方式是放缩整形 点睛:泰勒展开式为高等数学内容,在高中阶段不要求掌握. 1.泰勒展开式的形式 形式1如果函数在定义域上有定义,且阶导数存在,,则有 这里,为皮亚诺型余项. 我们称上式为函数在点处的泰勒展开式. 当时,上式变为,称此式(带有皮亚诺余项)的麦克劳林展开式. 形式2如果函数在定义域上有定义,且阶导数存在,,则有 . 其中为拉格郎日余项,其中位于与之间,这是函数在处的泰勒展开式. 其中,表示的阶导数,等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式,剩余的是泰勒展开式的余项,为的高阶无穷小. 当时,上式变为,称此式为(带有拉格郎日余项)的泰勒展开式. 2.常见函数的泰勒展开式 由泰勒展开式,我们可以得到几个常用的初等函数在处的泰勒展开式: (1); (2); (3); (4); (5); (6). 公式为等比数列求和,将(1)中换成,有,两边积分,得 即,这就是公式(4); 反过来,如果对公式(4)求导,则可得到,将换成,即可得到,此即为公式(1). 由于是奇函数,所以公式(5)右侧只有奇次方项;是偶函数,所以公式(6)右侧只有偶次方项.对公式(5)求导,即得公式(6);反之,对公式(6)求导,即得公式(5).对于公式(5)和(6)中的负号全部改为正号并两式相加,即可得公式(3).公式(3)可以看作是的推广或一般形式;公式(2)可以看作是二项式的推广. 3.常用的泰勒展开式的及其应用 我们从上面的几个展开式截取片断,就构成了初等数学中经常考查的导数不等式: (1)当时,;当时,; (2)当时,;当时, (3)对恒成立; (4)对恒成立; (5); (6)当时,;当时,; (7)当时,;当时,. 由可得,进而(将换成,在中将换成,即可得,进一步可加强为 典型例题 【例1】已知函数. (1)若恰为的极小值点. (i)证明:; (ii)求在区间上的零点个数; (2)若,又由泰勒级数知: . 证明:. 【例2】已知函数,它的导函数为. (1)当时,求的零点; (2)当时,证明:. 【例3】已知函数. (1)若,证明:当时,;当时,; (2)若是的极大值点,求的值. 【例4】函数. (1)若,求的值; (2)为整数,且对于任意正整数,求的最小值. 强化训练 1.设,当时,求证:1. 2.,若时,求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰勒展开式 知识与方法 泰勒展开式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的阶多项式来逼近函数的方法.在导数题目中命制中,泰勒展开式最大的作用就是把超越函数与初等函数联系起来,使高等数学问题具有初等解法,最常用的方式是放缩整形 点睛:泰勒展开式为高等数学内容,在高中阶段不要求掌握. 1.泰勒展开式的形式 形式1如果函数在定义域上有定义,且阶导数存在,,则有 这里,为皮亚诺型余项. 我们称上式为函数在点处的泰勒展开式. 当时,上式变为,称此式(带有皮亚诺余项)的麦克劳林展开式. 形式2如果函数在定义域上有定义,且阶导数存在,,则有 . 其中为拉格郎日余项,其中位于与之间,这是函数在处的泰勒展开式. 其中,表示的阶导数,等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式,剩余的是泰勒展开式的余项,为的高阶无穷小. 当时,上式变为,称此式为(带有拉格郎日余项)的泰勒展开式. 2.常见函数的泰勒展开式 由泰勒展开式,我们可以得到几个常用的初等函数在处的泰勒展开式: (1); (2); (3); (4); (5); (6). 公式为等比数列求和,将(1)中换成,有,两边积分,得 即,这就是公式(4); 反过来,如果对公式(4)求导,则可得到,将换成,即可得到,此即为公式(1). 由于是奇函数,所以公式(5)右侧只有奇次方项;是偶函数,所以公式(6)右侧只有偶次方项.对公式(5)求导,即得公式(6);反之,对公式(6)求导,即得公式(5).对于公式(5)和(6)中的负号全部改为正号并两式相加,即可得公式(3).公式(3)可以看作是的推广或一般形式;公式(2)可以看作是二项式的推广. 3.常用的泰勒展开式的及其应用 我们从上面的几个展开式截取片断,就构成了初等数学中经常考查的导数不等式: (1)当时,;当时,; (2)当时,;当时, (3)对恒成立; (4)对恒成立; (5); (6)当时,;当时,; (7)当时,;当时,. 由可得,进而(将换成,在中将换成,即可得,进一步可加强为 典型例题 【例1】已知函数. (1)若恰为的极小值点. (i)证明:; (ii)求在区间上的零点个数; (2)若,又由泰勒级数知: . 证明:.