第15讲 双变量统一 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

双变量统一 知识与方法 常见的双变量问题,有如下几类: (1)极值点偏移问题;(2)拐点偏移问题;(3)双极值点问题;(4)零点差问题;(5)“恒成立”“能成立”双变量问题;(6)其他的双变量问题. 本节主要研究(5)和(6)两类问题的处理方法,其他类型将在后面继续研究. 对于一般的双变量问题,要灵活运用“消元”、“减元”、“换元”等操作手法,其核心思想就是化为单变量函数,研究函数的单调性、值域或最值. 对于含有“恒成立”“能成立”等关键词的双变量问题,要正确翻译“恒成立”“能成立”等关键词,理解“任意”与“存在”的含义及区别,将问题进行正确转化,分析函数的值域即可解决. 下面是一些常见“关键词”的翻译: 1.不等式恒成立、能成立问题通常利用分离参数转化为求函数的最值： (1)恒成立; 恒成立. (2)能成立; 能成立. 变量类函数恒成立、能成立问题 (1)若的值域分别为,则有: (1),使得,则; (2),使得,则. (2)两个函数的最值问题 (1),使得,则; (2),使得,则; (3),使得,则. 典型例题 消元与换元 在处理多变量问题时,我们可以分析变量之间的联系,通过代换的方法将其转化为单变量的问题,从而将较为复杂的函数转化为一个简单的函数来处理,实现从未知向已知的转化,顺利解决问题. 【例1】设,求证:. 【例2】已知函数. (1)当时,求曲线与的公切线方程; (2)若有两个极值点,且,求实数的取值范围. 【例3】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若是的两个零点. 证明:. 变更主元 对于题目涉及到的两个变元,已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动,求另一个变元的取值范围问题,这类问题我们称之为“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题,往往会利用我们习惯将字母作为自变量的误区来进行设计.此时,我们可以变更主元,“反客为主”,将另一个变量作为自变量,从而使问题得以解决,我们称这种方法为变更主元法.如下面【例】题. 【例4】设函数. (1)讨论的导函数零点的个数; (2)证明:当时,. 【例5】函数, (1)若,求的单调区间； (2)若的最小值为,求的最小值. 构造函数 【例6】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)设,如果对任意,求实数的取值范围. 【例7】已知函数. (1)若,函数的图象与函数的图象相切,求的值; (2)若,函数满足对任意,都有恒成立,求的取值范围; (3)若,函数,且有两个极值点,其中,求的最小值. 任意存在分析值域 【例8】已知函数. 对于任意,意存在唯一的,使得成立,求实数的取值范围. 【例9】已知函数 （1）当时,求在区日上的最大值和最小值; (2)若在区间上,函数的图象恒在直线下方,求的取值范围. (3)设,当时，若对于任意,存在,使,求实数的取值范围. 【例10】设是函数的一个极值点. (1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间； (2)设.若存在,使得,求实数的取值范围. 强化训练 1.已知函数,其中 (1)试讨论函数的单调性 (2)在时,是否存在极值点?如果存在,不妨设为且,试判断与的大小并说明理由. 2.已知函数,其中为实常数. (1)若当时,在区间[1,e]上的最大值为,求的值; (2)对任意不同两点,设直线的斜率为,若0恒成立,求的取值范围. 3.设函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的单调递减区间和极小值(其中为自然对数的底数)； (2)若对任意恒成立,求的取值范围. 4.已知函数. (1)当时,讨论的单调性; (2)设.当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 双变量统一 知识与方法 常见的双变量问题,有如下几类: (1)极值点偏移问题;(2)拐点偏移问题;(3)双极值点问题;(4)零点差问题;(5)“恒成立”“能成立”双变量问题;(6)其他的双变量问题. 本节主要研究(5)和(6)两类问题的处理方法,其他类型将在后面继续研究. 对于一般的双变量问题,要灵活运用“消元”、“减元”、“换元”等操作手法,其核心思想就是化为单变量函数,研究函数的单调性、值域或最值. 对于含有“恒成立”“能成立”等关键词的双变量问题,要正确翻译“恒成立”“能成立”等关键词,理解“任意”与“存在”的含义及区别,将问题进行正确转化,分析函数的值域即可解决. 下面是一些常见“关键词”的翻译: 1.不等式恒成立、能成立问题通常利用分离参数转化为求函数的最值： (1)恒成立; 恒成立. (2)能成立; 能成立. 变量类函数恒成立、能成立问题 (1)若的值域分别为,则有: (1),使得,则; (2),使得,则. (2)两个函数的最值问题 (1),使得,则; (2),使得,则; (3),使得,则. 典型例题 消元与换元 在处理多变量问题时,我们可以分