第16讲 极值点偏移问题 讲义——2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第16讲 极值点偏移问题 知识与方法 对可导函数而言,极值点是其导函数的零点.对于单极值函数,由于极值点左右的“增减速度”不同,函数图象不具有对称性,出现了极值点的左右偏移,此类问题称为极值点偏移问偏移问题及其解法. 1.极值点偏移问题 函数满足定义域内任意自变量都有,则函数关于直线对称;可以理解为函数在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若为单峰函数,则必为的极值点.如二次函数的顶点横坐标就是极值点,若方程的两根为,且刚好有,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏移,如图1. 然而很多单极值函数,由于极值点左右的“增减速度”不同,函数图象不具有对称性,常 常有极值点的情况,出现了极值点的左右偏移,如图2. 极值点偏移:已知函数是连续函数,在区间内只有一个极值点,,且在与之间,由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同,使得极值点偏向变化速度快的一侧,常常有这种情况称为极值点偏移. 若单峰函数的极值点为,且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或,则函数极值点左右的变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足,则与极值点必有确定的大小关系. 若,则称为极值点左偏;若,则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边,我们称之为极值点左偏. 2.极值点偏移问题的一般题设形式 (1)函数存在两个零点且,求证:为函数的极值点): (2)函数中存在且,满足,求证:为函数的极值点; (3)函数存在两个零点且,令,求证:; (4)函数中存在且,满足,令,求证:. 3.极值点偏移的处理策略 (1)对称化构造; (2)齐次化构造; (3)利用对数平均不等式; (4)变更结论; (5)加强俞题. 典型例题 型 【例1】已知,若有两个零点, 求证:(1);(2). 【例2】已知函数,且(其中为自然对数的底数). (1)求函数解析式; (2)判断的单调性; (3)若有两个不相等实根,证明:. 型 【例3】已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若,设为的导函数,若函数有两个不同的零点,求证:. 【例4】设函数,. (1)求函数的单调区间; (2)若函数㤫两个零点. (1)求满足条件的最小正整数的值; (2)求证:. 加强命题型 【例5】已知,其中是自然对数的底数. (1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围; (2)判断函数极值点的个数,并说明理由; (3)当函数有两个不相等的极值点时,证明:. 【例6】函数. (1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围; (2)当时,若与的图象有两个交点,试比较与的大小(取为,取为,取为) 非标准极值点偏移问题 所谓“换元转正”,指对于非标准的极值点偏移问题,通过换元等手段化为标准的极值点 【例7】已知函数,满足,求证:. 强化训练 1.已知函数 (1)求函数的单调区间和极值; (2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明:当 时,; (3)如果,且,证明. 2.已知函数有两个零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 3．已知函数(为常数)，是的导函数． (1)讨论的单调性； (2)当且时，求证：； (3)已知有两个零点，求证：． 4.．设函数，其图象与轴交于两点，且． 证明：为函数的导函数． 5.已知函数，若方程有两个不相等的实根，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 极值点偏移问题 知识与方法 对可导函数而言,极值点是其导函数的零点.对于单极值函数,由于极值点左右的“增减速度”不同,函数图象不具有对称性,出现了极值点的左右偏移,此类问题称为极值点偏移问偏移问题及其解法. 1.极值点偏移问题 函数满足定义域内任意自变量都有,则函数关于直线对称;可以理解为函数在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若为单峰函数,则必为的极值点.如二次函数的顶点横坐标就是极值点,若方程的两根为,且刚好有,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏移,如图1. 然而很多单极值函数,由于极值点左右的“增减速度”不同,函数图象不具有对称性,常 常有极值点的情况,出现了极值点的左右偏移,如图2. 极值点偏移:已知函数是连续函数,在区间内只有一个极值点,,且在与之间,由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同,使得极值点偏向变化速度快的一侧,常常有这种情况称为极值点偏移. 若单峰函数的极值点为,且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或,则函数极值点左右的变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足,则与极值点必有确定的大小关系. 若,则称为极值点左偏;若,则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边,我们称之为极值点左偏. 2.极值点偏移问题的一般题设形式 (1)函数存在两个零点且,求证:为函数的极值点): (2)函数中存在且,满足,求证:为函数的极值点; (3)函数存在