第18讲 拐点偏移2 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第18讲 拐点偏移 知识与方法 1．拐点偏移问题 若函数在某点处，二阶导数为零，三阶导数不为零时，这个点即为拐点．极值点是一阶导数的零点；拐点是二阶导数的零点；拐点是一阶导数的极值点． 如我们熟悉的三次函数的拐点为坐标原点． 作直线与函数分别交于，则的中点坐标为．对于三次函数，拐点的横坐标为，此时认为拐点居中，没有偏离中点．同样，我们可以发现对于一般的三次函数，若其在定义域内单调，其拐点也居中，没有偏离中点． 然而很多含拐点的单调函数，由于拐点左、右的“增减速度”不同，函数图象不具有中心对称的性质，常常会有拐点的情况，这样就出现了拐点向左或向右偏移的情况．如右图所示： 2．拐点偏移问题的求解思路：对称化构造函数 解决拐点偏移问题，对称化构造新函数法是最基本的方法，有以下几种构造形式： (1)结论为的问题，若，则构造． (2)结论为问题，若，则构造． (3)结论为的问题，若，则构造． (4)结论为的问题，若，则构造． 典型例题 【例1】 已知函数．若正实数满足，证明：． 【例2】已知函数，且为定义域上的增函数，是的导函数，且的最小值小于等于0． (1)求的值； (2)设，且，求证：． 【例3】已知定义域为(0，)的函数(其中常数是自然对数的底数)． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数为定义域上的增函数，且，证明：． 【例4】已知函数． (1)若在(0，)上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若满足，求证：． 【例5】已知函数． (1)求函数的单调性； (2)若，且，求证：．． 【例6】设函数． (1)若对恒成立，求的取值范围； (2)若，当时，求证：． 【例7】设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 【例8】已知函数． (1)若在(0，+∞)上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若满足，求证：． 强化训练 1． 已知函数．证明：当时，． 2．设函数． (1)讨论的单调性； (2)时，若，求证：． 3．已知函数为常数)在处的切线方程为． (1)求的值，并讨论的单调性； (2)若，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 拐点偏移 知识与方法 1．拐点偏移问题 若函数在某点处，二阶导数为零，三阶导数不为零时，这个点即为拐点．极值点是一阶导数的零点；拐点是二阶导数的零点；拐点是一阶导数的极值点． 如我们熟悉的三次函数的拐点为坐标原点． 作直线与函数分别交于，则的中点坐标为．对于三次函数，拐点的横坐标为，此时认为拐点居中，没有偏离中点．同样，我们可以发现对于一般的三次函数，若其在定义域内单调，其拐点也居中，没有偏离中点． 然而很多含拐点的单调函数，由于拐点左、右的“增减速度”不同，函数图象不具有中心对称的性质，常常会有拐点的情况，这样就出现了拐点向左或向右偏移的情况．如右图所示： 2．拐点偏移问题的求解思路：对称化构造函数 解决拐点偏移问题，对称化构造新函数法是最基本的方法，有以下几种构造形式： (1)结论为的问题，若，则构造． (2)结论为问题，若，则构造． (3)结论为的问题，若，则构造． (4)结论为的问题，若，则构造． 典型例题 【例1】已知函数．若正实数满足，证明：． 【解析】解法1：对称化构造函数法 若都大于1，则，与题设矛盾； 同理，也不能都小于1．于是可设 构造函数，则， 所以在(0，2]上单调递增，故，于是原不等式得证． 解法2：凑配局部放缩法 ，即， 整理得． 令，记， 则，可知在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以的最小值为，则，得，又，因此成立． 【点睛1】解法1具有一般性，在我们点睛意到，则可以得到，联想，即，这或许与函数的中心对称有关：若点(1，2)是函数图象的对称中心，则由可推得；现要证，这说明(1，2)不是函数图象的对称中心，即曲线在穿过点(1，2)后发现了偏移，如图所示． 求导后，得，则在(0，)上单调递增，，则．在高等数学中，称点(1，2)为函数图象的拐点．类似于“极值点偏移”问题，我们不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”策略来处理． 【例2】已知函数，且为定义域上的增函数，是的导函数，且的最小值小于等于0． (1)求的值； (2)设，且，求证：． 【解析】，由为增函数，可得恒成立， 则由，可得恒成立． 设，则， 由与可知，在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 即在处取得极小值也是最小值，所以，即． 当时，易知； 当时，则，这与矛盾．从而．． 由可得，有解，即， 由上面的讨论，可知，即． 当时，成立；当时，得，从而，即． 综上可知． ，因为， 所以， 即， 即， 即， 即． 令在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以， 即，整理得， 解得或(舍)，