第19讲 零点差问题 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第19讲 零点差问题 知识与方法 有关两个零点之和的取值问题一般为极值点偏移问题或拐点偏移问题，而有关两个零点差的问题则主要考查两个零点之间的位置关系，即零点之间的距离． 零点差问题，基本思路有： (1)切线夹放缩； (2)割线夹放缩； (3)函数拟合放缩； (4)找点放缩． 其中找点放缩的难度最大．如在天津卷就出现过切线放缩，一般这种提示比较明显，往往是第一问切割线． 典型例题 切线放缩 【例1】已知，若关于的方程有两个正实数根，且． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【例2】已知函数． (1)求在(1，)处的切线方程，并证明； (2)若方程有两个正实数根，求证：． 割线放缩 【例3】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，证明：在(0，+∞)上恒成立； (3)若方程有两个实数根，且，求证：． 函数拟合 【例4】已知函数的两个零点记． (1)求的取值范围； (2)证明：． 【例5】已知，函数有两个不同的零点．证明： 找点放缩 【例6】已知函数. (1)当时,求的最值; (2)当时,若的两个零点分别为,证明:. 【例7】已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若是的两个零点,证明:. 【例8】已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)若函数有两个不同的零点. (i)求实数的取值范围; (ii)证明:. 强化训练 1.已知函数. (1)讨论函数的极值点个数; (2)已知函数有两个不同的零点,且.证明: 2.已知函数. (1)求在点处的切线方程; (2)若,证明:在上恒成立; (3)若方程有两个实数根,且, 证明:. 3.已知函数. (1)求函数的零点,以及曲线在处的切线方程; (2)设有两个实数根,求证:. 4.已知函数,令方程有两个不同的根,且满足,求证:. 5.已知函数. (1)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为直线.求证: 曲线上的点都不在直线的上方; (2)若关于的方程有两个不等实根, 求证:. 6.已知函数,其中. (1)当时,讨论的单调性; (2)已知,且函数有零点,求证:对任意的正实数,都存在满足条件的实数,使得成立. 7.已知函数,其中是自然对数的底数. (1)若曲线与直线有交点,求的最小值; (2)设,问:是否存在最大整数,使得对任意正数都有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. (ii)若曲线与直线有两个不同的交点,求证: 8.已知函数. (1)求函数在处的切线方程; (2)若方程有两个实数根,求证:. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 零点差问题 知识与方法 有关两个零点之和的取值问题一般为极值点偏移问题或拐点偏移问题，而有关两个零点差的问题则主要考查两个零点之间的位置关系，即零点之间的距离． 零点差问题，基本思路有： (1)切线夹放缩； (2)割线夹放缩； (3)函数拟合放缩； (4)找点放缩． 其中找点放缩的难度最大．如在天津卷就出现过切线放缩，一般这种提示比较明显，往往是第一问切割线． 典型例题 切线放缩 【例1】已知，若关于的方程有两个正实数根，且． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【解析】(1)，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以的最大值为．且， 所以有两个正实数根． (2)由，所以函数在处的切线是， 所以函数在处的切线是． 令，则， 所以时． 令，则． 当时，． 令，解得，解得． 因为，由单调递增，知； 又由，由单调递减，知． 所以． 【点睛】本题题设中是关于的取值问题，这类问题一般是转化成来解决，所以需要先找到一个函数满足恒成立，则得到，这样，同理构造函数，满足得到，从而，所以，这是切线放缩；当问题变成类型时，则需要割线放缩． 显然由(1)可知，题目求的零点差的取值范围，需要取点拟合切线，但一般较易的题目只需取几个特殊点的切线即可，本题可先试试两个零点，即(0，0)和(，0)．需要说明的是：用切线夹的方法来证明零点差问题，必须进行严谨的代数证明，不能“以图代证”． 【例2】已知函数． (1)求在(1，)处的切线方程，并证明； (2)若方程有两个正实数根，求证：． 【解析】(1) 设， 所以在(，)上是增函数，在上是减函数， 而， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以，即 (2)因为在(0，0)处的切线方程为，在(1，0)处的切线方程为， 下面判断两条切线是否在的下方． (i)由(1)知在的上方 (ii)接下来证明：在上方 设， 得或， 所以在(0，+∞)为单调递增，所以， 所以在(0，+∞)为增函数，所以， 所以当时，在的上方； 如下图： 直线与的交点的横坐标为， 直线与 的交点的横坐标为， 由图可知，证毕； 【点睛】切线夹法的一般步取如下： 第一步：设切点(，