第20讲 双极值点问题 讲义——2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

双极值点问题 知识与方法 对于双极值点问题,其解决方法与极值点偏移问题类似,往往需要把双变量问题转化为单变量问题.与极值点偏移转化为单变量的方法相比,双极值点问题更加简单一些,一般是通过韦达定理进行合理消元,最终转换成单变量函数,最后通过构造函数解决问题.其核心思想是统一变量,化成单变量表达式,这个单变量可以是,或者是函数解析式中的参数等. 典型例题 极值点(拐点)偏移 【例1】 已知函数在有两个极值点,求证:. 【例2】已知函数. (1)当时,设函数的最小值为,证明:; (2)若函数有两个极值点,证明:. 比值代换 【例3】已知函数,若函数有两个极值点,且2,求实数的取值范围. 【例4】已知函数在定义域内有两个不同的极值点. (1)求实数的取值范围; (2)设两个极值点分别为,证明:. 【例5】已知函数. (1)若在上为单调函数,求实数的取值范围; (2)若,记的两个极值点为,记的最大值与最小值分别为,求的值. 【例6】已知函数. (1)若在其定义域内不是单调函数,求实数的取值范围; (2)若函数存在两个极值点,且.设,不等式恒成立,求实数 的取值范围. 韦达定理减元 【例7】已知. (1)讨论函数的单调性; (2)若,且有2个不同的极值点,求证:(1);. 【例8】已知函数.若函数存在两个极值点,证明:. 【例9】已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行,求在点的切线方程; (2)若函数在定义域内有两个极值点,求实数的取值范围,并证明: 【例10】已知函数,其中为正实数. (1)若函数在处的切线斜率为2,求的值; (2)若函数有两个极值点,求证:. 强化训练 1.已知函数. (1)若函数在上为增函数,求的取值范围; (2)若函数有两个不同的极值点,记作,且,证明:. 2.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若有两个极值点,求的取值范围. 3.(1)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围; (2)已知函数,如果函数有两个极值点,求证:.(参考数据:,,为自然对数的底数) 4.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若存在两个极值点,证明:. 5.已知函数,当时,函数的两个极值点,证明:. 6.已知. (1)求的极值; (2)若函数有两个极值点,且是自然对数的底数)恒成立,求实数的取值范围. 7.已知函数. (1)当时,设函数在区间上的最小值为,求; (2)设,若函数有两个极值点,且,求证:. 8.已知函数. (1)当时,取得极值,求的值,并判断是极大值点还是极小值点; (2)当函数有两个极值点,且时,总有 成立,求的取值范围. 9.已知. (1)讨论函数的单调性; (2)若,且有2个不同的极值点,求证:(1);(2). 10.设函数. (1)当时,讨论函数的单调性; (2)设是函数的两个极值点,证明:恒成立. 11.已知函数,其中为常数. (1)若恰有一个解,求的值; (2)若函数,其中为常数.试判断函数的单调性; (3)若恰有两个零点,求证:. 学科网（北京）股份有限公司 $ 双极值点问题 知识与方法 对于双极值点问题,其解决方法与极值点偏移问题类似,往往需要把双变量问题转化为单变量问题.与极值点偏移转化为单变量的方法相比,双极值点问题更加简单一些,一般是通过韦达定理进行合理消元,最终转换成单变量函数,最后通过构造函数解决问题.其核心思想是统一变量,化成单变量表达式,这个单变量可以是,或者是函数解析式中的参数等. 典型例题 极值点(拐点)偏移 【例1】已知函数在有两个极值点,求证:. 【解析】, 因为函数在有两个极值点 所以是在上的零点, 所以,两式相除可得.令 (1), 上式变为,即 (2), 联立(1)(2)解得:. 要证明,只要证明, 即证明. 令,则. 令, 故在上单调递增,故,即, 故在上单调递增,故, 即成立,故原不等式得证. 在证明的过程中,也可以考虑“对数靠边走”,避开二次求导, 方法如下: 证法2: 要证,只需证明.今,则,所以在上单调递增,所以,即成立,故原不等式得证. 【点睛】本题是与双极值点有关的极值点偏移问题,可以参照节极值点偏移问题的方法处理,从对称化构造函数、比值代换化为单变量函数、对数均值不等式等角度来解决. 【例2】已知函数. (1)当时,设函数的最小值为,证明:; (2)若函数有两个极值点,证明:. 【解析】(1),今,解得. 当时,单调递增;当时,单调递减. 所以,所以. 令,则.令,得. 所以,当时,单调递增;当时,单调递减. 所以,所以. 所以当时,. (2),则,今,得. 当时,单调递增;当时,单调递减. 所以. 又函数有两个极值点,所以,所以,且. 所以当时,单调递增;当时,单调递减; 所以当时,. 又,所以, 所以. 令, 所以在上单调递增,所以, 所以在上单调递