第21讲 零点问题 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

零点问题 知识与方法 1函数零点的定义:方程的解叫做函数的零点. 2三个等价关系： 函数有零点方程有解图象与轴有交点. 3零点问题主要有如下几类: (1)零点的个数问题; (2)零点的范围问题; (3)隐零点问题. 典型例题 零点的个数 【例1】已知函数. (1)当时,讨论的单调性; (2)若有两个零点,求实数的取值范围. 【例2】已知函数. (1)当时,求的最大值; (2)讨论关于的方程的实根个数. 零点的范围 【例3】设函数,曲线在点处的切线与轴垂直. (1)求; (2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1. 隐零点问题 【例4】已知函数是自然对数的底数. (1)求函数的最小值; (2)若函数有且仅有两个不同的零点,求实数的取值范围. 【例5】已知函数. (1)若曲线与直线相切,求的值; (2)若存在,使得成立,求实数的取值范围. 【例6】已知函数. (1)当时,证明:在区间上不存在零点; (2)若,试讨论函数的零点个数. 分段函数零点问题 【例7】已知函数. (1)当为何值时,轴为曲线的切线; (2)用表示中的最小值,设函数,讨论零点的个数. 强化训练 1.已知函数. (1)当时,求在处的切线方程; (2)如果当时,恒成立,求实数的取值范围; (3)求证:当时,函数恰有3个零点. 2.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若有三个零点,求的取值范围. 3.已知函数,其中为自然对数的底数. (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间; (3)用表示中的较大者,记函数.若函数在内恰有2个零点,求实数的取值范围. 4.已知函数,其中. (1)求函数的单调区间; (2)讨论函数的零点个数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 零点问题 知识与方法 1函数零点的定义:方程的解叫做函数的零点. 2三个等价关系： 函数有零点方程有解图象与轴有交点. 3零点问题主要有如下几类: (1)零点的个数问题; (2)零点的范围问题; (3)隐零点问题. 典型例题 零点的个数 【例1】已知函数. (1)当时,讨论的单调性; (2)若有两个零点,求实数的取值范围. 【解析】(1)当时,,则. 当时,单调递减; 当时,单调递增. 所以在单调递减,在单调递增. (2). 当时,,所以在单调递增,故至多存在1个零点,不 合题意； 当时,由可得,当时,; 当时,. 所以在单调递减,在单调递增; 故当时,取得极小值,最小值为. (i)若,则在至多存在1个零点,不合题意; (ii)若,则.由于,所以在存在唯一零点.由(1)知,当时,,所以当,且时, . 故在存在唯一零点,从而在有两个零点. 综上,实数的取值范围是. 解法2:分离参数 若有两个零点,即有两个解. 显然,,因此有两个解, 即直线与曲线有两个交点. ,令,得, 当时,;当时,, 故在上单调递增,在上单调递减,故. 又,当时,, 当时,,画出的图象如图所示, 结合图象可知: 当时,直线与曲线没有交点; 当或时,直线与曲线有唯一交点; 当时,直线与曲线有两个交点. 综上所述,有,即,故实数的取值范围是. 【点睛】本题第(2)问的解法1,由于函数有两个零点,所以必有一个极值点.先求出函数的极值(也是最值),根据函数极值符号及函数值在极值点两侧符号求出并验证的取值范围. 解法2将进行参变分离,转化为与曲线的交点个数间题,数形结合解决问题.这里采取“倒数分参”,其中函数的定义域是,研究其性质较为方便. 如果转化为直线与的交点个数问题,就会出现“断点”,即,处理起来相对复杂. 解决零点个数常用的方法主要有三种: 1.将函数零点个数问题转化为两个函数图象交点的个数问题,利用数形结合思想求解; 2将函数的零点个数问题转化函数的图象与轴交点个数的问题; 3将进行参变分离,通常将参数完全分离,转化为的形式,再利用函数的图象与直线交点的个数求解;而为了避免出现“断点”,可以考虑“倒数分参”,过程与上面的解法2类似. 【例2】已知函数. (1)当时,求的最大值; (2)讨论关于的方程的实根个数. 【解析】(1)当时,, 令,得. 当时,单调递增; 当时,单调递减. 所以. (2)解法1 由,得, 令, 所以方程的实根的个数即为函数在上的零点的个数,因为,所以是函数的一个零点,又因为, 所以在上的零点互为倒数,下面研究在上的零点的个数: 因为, (i)若,则时,, 所以在上没有零点; (ii)若,则, 令, (1),即时,即, 所以在上递增, 所以,所以在上没有零点; (2),即时,有两个不等实根,且, 所以大根,小根满足, 所以时,单调递减, 时,单调递增, 所以, 又因为, 所以在上恒小于0, 在上存在唯一使得, 所以在上仅有一个零点, 因为在上的零点互为倒数,且, 所以时,