第22讲 “取点”的技巧 讲义——2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第22讲 “取点”的技巧 知识与方法 运用“零点存在性定理”来判断零点的存在性时,其中的“点”如何选取,这是一个难点.本节介绍取点的常用方法和技巧,通过学习后自然会解开这个困惑.让“取点”不再神秘. 1.零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0,那么函数在区间内必有零点,即,使得. 2.关于“取点” 所谓的“取点”,是指在某个范围内取一点,使得或. 3.“取点”的方法 下面介绍一些常用的“取点”方法,来寻找合理有效的数与,使得. (1)直接赋值法; (2)局部为零法; (3)揷值取点法; (4)放缩取点法. 典型例题 直接取点法 当函数相对简单时,可以将区间端点或等特殊数值代入尝试,通过计算判断正负; 【例1】已知函数,其中. (1)当时,求的单调区间; (2)证明:对任意的在区间内均存在零点. 局部为零法 【例2】若,求函数在上的零点个数. 【例3】若,求的零点个数. 插值取点法 【例4】.求的零点个数. 【例5】已知,证明:存在,使得. 【例6】已知函数(为常数)的图象与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为. (1)求的值及函数的极值; (2)证明:当时,; (3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有. 放缩取点法 一般情形下,放缩的目标应锁定于对函数的变化趋势起不了主导作用的那些项.即在要取点的极限处不改变函数的极限,这样就能保证取的的值在对应范围内.放缩目的为化超越方程为一般方程. (1)对数放缩 由熟知不等式可得,再对作简单的代换,可以进一步将放大或缩小: 放大:由可得,于是,作用:将放大,可以根据需要选择合适的常数(其中). 如分别取,可得. 缩小:由可得,于是,作用:将缩小,可以根据需要选择合适的常数. 如分别取,可得. (2)指数放缩 由熟知不等式可得,进而有. 当时,有; 分别取,可得. 当时,有; 分别取,可得. 【例7】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若有两个零点,求的取值范围. 【例8】已知函数.若函数有两个零点,证明:. 【例9】已知函数.证明:只有一个零点. 【例10】已知函数. (1)若,求函数的单调区间; (2)若函数有两个零点,求实数的取值范围. 【例11】已知函数. (1)若时,求函数的最小值; (2)若,证明:函数有且只有一个零点; (3)若函数有两个零点,求实数的取值范围. 【例12】已知函数. (1)求的单调区间; (2)试求的零点个数,并证明你的结论. 强化训练 1.已知函数,其中是自然对数的底数,. (1)求函数的单调区间; (2)设,讨论函数零点的个数,并说明理由. 2.设函数. (1)求函数的单调区间; (2)讨论函数的零点个数. 3.已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论的零点个数． 4.已知函数．(e是自然对数的底数) (1)求的单调区间； (2)记，试讨论在上的零点个数．(参考数据： 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 “取点”的技巧 知识与方法 运用“零点存在性定理”来判断零点的存在性时,其中的“点”如何选取,这是一个难点.本节介绍取点的常用方法和技巧,通过学习后自然会解开这个困惑.让“取点”不再神秘. 1.零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0,那么函数在区间内必有零点,即,使得. 2.关于“取点” 所谓的“取点”,是指在某个范围内取一点,使得或. 3.“取点”的方法 下面介绍一些常用的“取点”方法,来寻找合理有效的数与,使得. (1)直接赋值法; (2)局部为零法; (3)揷值取点法; (4)放缩取点法. 典型例题 直接取点法 当函数相对简单时,可以将区间端点或等特殊数值代入尝试,通过计算判断正负; 【例1】已知函数,其中. (1)当时,求的单调区间; (2)证明:对任意的在区间内均存在零点. 【解析】(1),解得或, 当时,在单调递增,在单调递减; 当时,在单调递增,在单调递减; (2)证明: (1)当,即时,在内单调递减. 所以在区间内均存在零点. (2)当,即时,在内单调递减,在内单调递增; 若 , 所以在内存在零点. 若, 所以在内存在零点. 所以,对任意在区间内均存在零点. 综上,对于任意在区间内均存在零点. 【点睛】由于是我们熟悉的函数,于是直接取区间端点,再判断正负就好了. 局部为零法 【例2】若,求函数在上的零点个数. 【解析】因为单调递增,且,所以在上有且只有唯一个零点. 【点睛1】取用到了局部为零法.点睛意到中,有,于是分离出,即,令,得,便有. 【点睛2】点睛意到,也可以分离出,即,令,得, 便有. 【例3】若,求的零点个数. 【解析】易知 设,因为,所以, 设的两根为,则. 从而可得在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 所以在上单调递减,且