第23讲 导数与三次函数 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第23讲 导数与三次函数 知识与方法 三次函数在高中数学教材中没有作专门的介绍，然而，关于三次函数的问题在高考、强基和模拟试题中经常出现，它是高考考查的一个十分重要的函数．熟悉三次函数的图象和性质，有助于我们了解此类问题的命题背景，在解决问题中做到游刃有余． 本节我们对三次函数的图象、性质及应用作一个系统的梳理． 1．单调性 对于三次函数，其导函数，判别式． (1)若，则在上为增函数； (2)若，令，则此方程有两个不等实根，不妨设，则在和上为增函数，在上为减函数． 2．图象 下图中，为函数的两个极值点，为二阶导数的零点． 3．极值 由(1)可得以下结论：三次函数， (1)若，则在上无极值； (2)若，则在上有两个极值； 且在处取得极大值，在处取得极小值． 4．零点个数 对于三次函数， (1)若，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点； (2)若，且，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点； (3)若，且，则方程有两个不等实根，函数有两个零点； (4)若，且，则方程有三个不等实根，函数有三个零点． 【点睛】若方程的解为， 则有 右边展开，再比较系数可得： 这个结论叫做三次方程的韦达定理． 5．对称性 定理：三次函数的图象关于点对称． 证法1： 点睛意到可化为： ． 令，则， 易知是奇函数，其图象关于原点对称，所以图象关于点对称． 证法2： 设的图象关于点对称， 取图象上任一点， 则关于的对称点也在图象上， 所以， 所以 与比较系数， 可得解得 故图象关于点对称． 【点睛】事实上，，令．结论说明：任意一个三次函数都有对称中心，且对称中心横坐标就是导函数的对称轴，又是两个极值点的中点，也是二阶导数的零点(拐点就是对称中心)． 6．三次函数解析式 (1)一般形式：． (2)已知函数图象的对称中心为，则． (3)已知函数图象与轴的三个交点的横坐标，则． (4)已知函数图象与轴的一个交点的横坐标为，则． 7．切割线性质 定理：如图所示，点是函数图象上任意一点(非对称中心)，过作切线和割线均在的图象上，则成等差数列，即． 【证明】设① 直线② 直线③ 联立(1)(2)，得 由韦达定理得：④ 联立(1)(3)，可得 同理，可得：⑤ 由(4)(5)得：，即， 故成等差数列，且． 推论1：如左下图所示，设是图象上任意一点(非对称中心)，过点作函数图象的两条切线，切点分别为，则成等差数列，即． 推论2：如右上图所示，为函数的两个极值点，方程的两根为为图象的对称中心，则成等差数列，即区间被和三等分． 对于方程也有类似的结论，证明过程请读者自行完成． 典型例题 三次函数图象的对称性 【例1】给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则（ ） A． C.8084 D．8088 【例2】已知直线与曲线相交，交点依次为，且，则直线的方程为（ ） A． 三次函数切线问题 【例3】已知函数．(1)求在区间上的最大值； (2)若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围； (3)问过点分别存在几条直线与曲线相切?只需写出结论） 【例4】已知函数，其中为常数． (1)当时，若函数在上的最小值为，求的值； (2)讨论函数在区间上的单调性； (3)若曲线上存在一点，使得曲线在点处的切线与经过点的另一条切线互相垂直，求的取值范围． 三次函数的零点问题 【例5】已知函数． (1)若，且在内有且只有一个零点，求的值； (2)若，且有三个不同的零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)若，试讨论是否存在，使得． 【例6】设函数为的导函数． (1)若，求的值； (2)若，且和的零点均在集合中，求的极小值； (3)若，且的极大值为，求证：． 【例7】已知函数． (1)当时，求函数的单调减区间； (2)若函数存在极值点，且，其中，求证：； (3)用表示中的最小值，记函数，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数的取值范围． 极值与最值问题 【例8】已知函数有两个极值点，若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求实数的值． 【例9】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由． 【例10】在上定义运算：是常数， 已知． (1)如果函数在处有极值，试确定的值； (2)求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点； (3)记的最大值为，若对任意的恒成立，试求的取值范围．(参考公式：) 强化训练 1.．已知函数． (1)求的极大值点； (2)当时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围． 2．设函数，其中． (1)当时，求