第24讲 导数与三角函数 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第24讲 导数与三角函数 知识与方法 有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.可从以下几个角度来突破此类问题的难点. 1.分段讨论 (1)以为端点分区间讨论; (2)以三角函数的最值点为端点分段讨论. 2.巧用放缩,消去三角函数 (1)正弦函数:当时,. (2)余弦函数:. (3)正切函数:当时,. (4)函数值域:. 3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起. 4.分离参数:转化为函数值域问题. 5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率. 典型例题 【例1】已知函数,其中为实数,是自然对数的底数. (1)若,证明:; (2)若在上有唯一的极值点,求实数的取值范围. 【例2】设函数. (1)当时,判断的单调性; (2)若当时,不等式恒成立,求的取值范围. 【例3】已知函数. (1)讨论在区间上的单调性;(2)证明:; (3)设,证明:. 【例4】已知函数为的导数. (1)当时,求的最小值; (2)当时,恒成立,求的取值范围. 【例5】已知函数为的导数.证明: (1)在区间存在唯一极大值点; (2)有且仅有2个零点. 【例6】已知函数. (1)当时,求的单调区间; (2)当时,讨论的零点个数. 【例7】已知函数. (1)求的单调区间; (2)若在恒成立,求的取值范围. 强化训练 1.已知函数为自然对数的底数. (1)当时,证明:; (2)若函数在上存在两个极值点,求实数的取值范围. 2.已知函数,则的最小值是 3.已知函数. (1)若,讨论方程根的情况; (2)若,讨论方程根的情况. 4.已知函数.求证: (1)在区间存在唯一极大值点; (2)在上有且仅有2个零点. 5.已知函数,其中为非零常数. (1)若函数在上单调递增,求的取值范围; (2)设,且, 证明:当时,函数在上恰有两个极值点. 6.已知函数. (1)判断函数在上的单调性; (2)证明函数在内存在唯一的极值点,且. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 导数与三角函数 知识与方法 有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.可从以下几个角度来突破此类问题的难点. 1.分段讨论 (1)以为端点分区间讨论; (2)以三角函数的最值点为端点分段讨论. 2.巧用放缩,消去三角函数 (1)正弦函数:当时,. (2)余弦函数:. (3)正切函数:当时,. (4)函数值域:. 3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起. 4.分离参数:转化为函数值域问题. 5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率. 典型例题 【例1】已知函数,其中为实数,是自然对数的底数. (1)若,证明:; (2)若在上有唯一的极值点,求实数的取值范围. 【解析】(1)证明:时,, 令,则, 当时,在上为减函数, 当时,在上为增函数, 函数的极小值也是最小值为, 所以,而,所以,即. (2)在上有唯一的极值点等价于在上有唯一的变号零点,等价于,设, , 因为,所以, 当时,在上为减函数, 当时,在上为增函数, 所以函数的极小值也是最小值为, 又, 所以当时,方程在上有唯一的变号零点, 所以的取值范围是. 【点睛】本题的解答采用学生所熟悉的分离参数的方法,但分离参数并不意味着不需要讨论,并且本题复杂的三角函数求导也能考验考生的耐心.含有三角函数的导数问题,合理放缩和分区间讨论是常用的手段.在解决的过程中,我们借助三角函数的有界性进行了放缩. 【例2】设函数. (1)当时,判断的单调性; (2)若当时,不等式恒成立,求的取值范围. 【解析】(1),今, 当时,, 所以当时,单调递增; 所以,即,所以单调递增. (2)因为当时,不等式恒成立, 所以当时,不等式恒成立, 令,所以, 因此当时,, 所以,所以单调递增, 所以,所以. 【例3】已知函数. (1)讨论在区间上的单调性;(2)证明:; (3)设,证明:. 【解析】(1), 当时,;当时,. 所以在区间上单调递增,在区间上单调递减. (2)因为,由知,在区间上的最大值为,最小值为.而是周期为的周期函数,故. (3)由知,于是, 所以,. 解法2: (1) . 当时,;当时,;当时,0 所以在上单调递增,在上单调递减. (2) . 当且仅当,即时等号成立. 所以. (3)由(2)知: 【点睛1】本题第(2)问将不等式证明的问题转化为函数的最值问