第25讲 导数与数列不等式 讲义——2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第25讲 导数与数列不等式 知识与方法 函数、数列、不等式的综合题,是高考压轴题的热点题型之一.一方面,以函数为载体让学生探究函数的性质;另一方面,数列是特殊的函数,在研究数列问题时,我们经常用函数的性质去探究数列的变化规律以及取值范围等.本节,我们介绍几类常见的导数与数列不等式结合的考题及其解决方法. 1.基本类型 (1)数列求和(或积)中的不等问题; (2)通项公式中的不等问题. 对于数列求和的不等问题,通常要将通项公式放缩为可以求和的数列: (1)放缩为等差数列:通项公式:; (2)放缩为等比数列:通项公式:; 【点睛】特别地,当时,数列为无穷递缩等比数列,其前项和.这个不等式经常用到,它的结构为:,常常要从第二项或第三项开始放缩. (3)裂项相消求和:通项公式特点:; (4)倒序相加求和:通项公式特点:常数. 【点睛1】数列求和不等式,要点睛意从通项公式入手,放缩成可求和的数列. 【点睛2】在放缩时要点睛意前几问的铺垫与提示作用,特别是由恒成立与最值问题所得到的不等式,往往提供了放缩的方向. 【点睛3】常用的放缩不等式: 典型例题 【例1】数列满足. (1)求数列的通项公式; (2)设数列的前项和为,证明. 【例2】已知函数. (1)若在上恒成立,求实数的取值范围; (2)证明:. 【例3】设函数. (1)设,求的最小值; (2)设,若在上为增函数,求实数的取值范围; (3)求证:时,. 【例4】已知函数. (1)求函数在上的单调区间; (2)用表示中的最大值,为的导函数,设函数,若在上恒成立,求实数的取值范围; (3)证明:. 【例5】已知函数的最小值为0,其中. (1)求的值; (2)若对任意的,有成立,求实数的最小值; (3)证明:. 【例6】已知函数. (1)求函数的极值; (2)(1)当时,恒成立,求正整数的最大值; (2)证明:. 【例7】已知函数. (1)函数在定义域内恒成立,求实数的取值范围; (2)求证:当时,. 【例8】已知函数(其中是自然对数的底数,. (1)当时,求函数的极值; (2)当时,求证; (3)求证:对任意正整数,都有. 【例9】已知函数. (1)求的最大值; (2)若对,总存在,使得成立,求实数的取值范围; (3)证明不等式是自然对数的底数). 递推公式中的不等问题 【例10】已知函数. (1)求证:当时,; (2)若数列满足,且,证明:. 【例11】函数,曲线在处的切线在轴上的截距为. (1)求; (2)讨论的单调性; (3)设,求证:. 【例12】函数. (1)判断时,的零点个数,并加以说明; (2)正项数列满足. (1)判断数列的单调性,并加以证明; (2)证明:. 强化训练 1..已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)若不等式恒成立,求实数的取值范围; (3)当时,求证:. 2.已知函数. (1)求在点处的切线方程; (2)若不等式恒成立,求实数的取值范围; (3)求证:当时,不等式成立. 3.已知函数. (1)设,求的单调区间; (2)若对,总有成立. 求的取值范围; (ii)证明:对于任意的正整数,不等式恒成立. 4.已知函数. (1)若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围; (2)求证:(其中为自然对数的底数). 5.已知函数. (1)若,且对于任意恒成立,试确定实数的取值范围; (2)设函数,求证: 6.已知函数. (1)求证:当时,; (2)数列满足,求证:数列单调递减,且. 7.已知函数,正实数数列满足,且当时,求证: (1)当时,; (2). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 导数与数列不等式 知识与方法 函数、数列、不等式的综合题,是高考压轴题的热点题型之一.一方面,以函数为载体让学生探究函数的性质;另一方面,数列是特殊的函数,在研究数列问题时,我们经常用函数的性质去探究数列的变化规律以及取值范围等.本节,我们介绍几类常见的导数与数列不等式结合的考题及其解决方法. 1.基本类型 (1)数列求和(或积)中的不等问题; (2)通项公式中的不等问题. 对于数列求和的不等问题,通常要将通项公式放缩为可以求和的数列: (1)放缩为等差数列:通项公式:; (2)放缩为等比数列:通项公式:; 【点睛】特别地,当时,数列为无穷递缩等比数列,其前项和.这个不等式经常用到,它的结构为:,常常要从第二项或第三项开始放缩. (3)裂项相消求和:通项公式特点:; (4)倒序相加求和:通项公式特点:常数. 【点睛1】数列求和不等式,要点睛意从通项公式入手,放缩成可求和的数列. 【点睛2】在放缩时要点睛意前几问的铺垫与提示作用,特别是由恒成立与最值问题所得到的不等式,往往提供了放缩的方向. 【点睛3】常用的放缩不等式: 典型例题 【例1】数列满足. (1)求数列的通项公