第26讲 最大值的最小值问题 讲义——2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

最大值的最小值问题 知识与方法 求函数为参数,最大值中的最小值问题,在历年高考、自主招生、竞赛题中都有出现.由于含有两个参数,若分类讨论处理一般都异常复杂.此类问题的解决方法有:构造平口单峰函数、利用纵向距离、利用三点控制、三角换元等. 引理1:若为上连续的单峰函数,且为极值点,则当变化时,的最大值中的最小值为,当且仅当时取得. 这个引理的几何意义十分明显,如下图所示. 引理2:拉格朗日中值定理 如果函数满足在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在区间内至少存在一点,使等式成立. 【点睛】的解,就是与曲线相切且与封口直线平行切线的横坐标. 定义1:平口单峰函数 我们把满足引理1条件的函数称为平口单峰函数. 定义纵向距离 我们把称为与在处的纵向距离.的代数意义就是与在处的函数值之差的绝对值;的几何意义就是直线与两函数与图象交点间的距离. 【点睛】求函数最大值中的最小值时,用两条平行线去夹住曲线,当两平行线间的纵向距离最小时,其距离的一半就是最大值的最小值. 典型例题 二次函数型 【例1】设命题:存在,使得,其中.若无论取何值时,命题都是真命题,则的最大值为 . 【例2】已知,若对于任意的恒成立,则 . 对勾函数型 【例3】已知函数,当时,设的最大值为,则的最小值为 . 单调函数型 【例4】设函数,若对任意实数,总存在实数,使得不等式成立,则实数的取值范围是 . 三次函数型 【例5】设函数,若对任意实数,总存在实数使得不等式成立,求实数的取值范围. 【例6】已知函数,是否存在实数,使得对任意,均有.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【例7】已知函数的定义域为,记的最大值为,则的最小值为（） A.4 B.3 C.2 D. 强化训练 1.设函数,若对于任意实数,总存在,使得成立,则实数的取值范围是 . 2.设函数,若对任意的实数和实数,总存在,使得,则实数的最大值是 . 3.若对于任意的,都存在,使得不等式成立,则实数的取值范围是 . 4.已知函数对于任意的实数总存在使得恒成立.则取最大值时, . A.7 B.4 C. D. 5.已知函数,对任意的,都存在,使得成立,则实数的取值范围为 . 6.已知函数,当时,的最大值为,则的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 最大值的最小值问题 知识与方法 求函数为参数,最大值中的最小值问题,在历年高考、自主招生、竞赛题中都有出现.由于含有两个参数,若分类讨论处理一般都异常复杂.此类问题的解决方法有:构造平口单峰函数、利用纵向距离、利用三点控制、三角换元等. 引理1:若为上连续的单峰函数,且为极值点,则当变化时,的最大值中的最小值为,当且仅当时取得. 这个引理的几何意义十分明显,如下图所示. 引理2:拉格朗日中值定理 如果函数满足在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在区间内至少存在一点,使等式成立. 【点睛】的解,就是与曲线相切且与封口直线平行切线的横坐标. 定义1:平口单峰函数 我们把满足引理1条件的函数称为平口单峰函数. 定义纵向距离 我们把称为与在处的纵向距离.的代数意义就是与在处的函数值之差的绝对值;的几何意义就是直线与两函数与图象交点间的距离. 【点睛】求函数最大值中的最小值时,用两条平行线去夹住曲线,当两平行线间的纵向距离最小时,其距离的一半就是最大值的最小值. 典型例题 二次函数型 【例1】设命题:存在,使得,其中.若无论取何值时,命题都是真命题,则的最大值为 . 【答案】 【解析】令,记在上的最大值为, 下面求的最小值.将图象进行左右平移不影响其最值, 点睛意到区间的长度为1,换成不影响结果 当时,取得最小值, 此时, 即的最小值为,故. 【例2】已知,若对于任意的恒成立,则 . 【答亲】-2 【解析】解法1:转化为二次函数 记,则, 当对称轴为且(平ロ单峰) 即时,在上的最大值取得最小值， 此时,所以. 解法2:切比雪夫最佳函数逼近 ,令,则在上不变号, 如图 ,令,即, 得切点,则的中点, 过且平行于的直线方程为, 令,得, ,所以. 解法3:绝对值三角不等式 记,则, , 有, 而 则, 以上各不等式只能取等号, 则 或, 解得,所以. 解法构造平口单峰函数 ,构造,由, 当,即时平口,即构造, , 的中点,过且平行于的直线方程为, 令,得,所以.【点睛】记最大值的最小值为,则. 对勾函数型 【例3】已知函数,当时,设的最大值为,则的最小值为 . 【答案】 【解析】在上是“平口单峰”函数,极值点为1. 如图所示,经过与,方程为是与曲线相切且