第28讲 导数中的“距离”问题 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第28讲 导数中的“距离”问题 知识与方法 导数中的“距离”问题是指形如下面的问题： 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 典型例题 一曲一直型 【例1】若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______． 【例2】设，若关于的不等式有解，则实数的值为( ) A、 B、 C、0 D、 【例3】若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 【例4】已知为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值_______． 【例5】设是曲线上的动点，是曲线上的动点，则的最小值为_______． 综合应用 【例6】设．当变化时，的最小值为_______． 【例7】已知为曲线上一点，为直线上一点，为的中点，则点到圆上一点的最短距离为__________． 【例8】已知点，点在曲线上，点在直线上，为线段的中点，则的最小值为（） A、 B、 C、 D、 强化训练 1.若存在，，使成立，则实数的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 2.设，其中，，若存在正数，使得成立，则实数的值为( ) A、 B、 C、 D、1 3.已知函数，若关于的不等式有解，则实数的值为 . 4.设分别在曲线与上，求的最小值． 5.已知点是直线上的动点，点是拋物线上的动点．设点为线段的中点，为原点，则的最小值为 . 6.已知函数，若存在，使得，则实数的值为 . 7.(多选)已知，，记，则( ) A、的最小值为 B、当最小时， C、的最小值为 D、当最小时 8.已知实数满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为_______． 9.已知函数在上单调递增，则的取值围是________． 10.已知，函数(e是自然对数的底数)，当取得最小值时，则实数的值为( ) A、4 B、 C、 D、 11.若，则的最小值为______，此时______． 12.已知对任意，，都有成立，求正整数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 导数中的“距离”问题 知识与方法 导数中的“距离”问题是指形如下面的问题： 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 典型例题 一曲一直型 【例1】若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】解法1：利用相切 表示两点，间的距离， 其中在直线上，在曲线上， 平移直线，与曲线相切于点， 由得，令，所以，， 到直线的距离，故， 于是的最小值为2， 故，所以的取值范围是． 解法2：利用柯西不等式 当且仅当，即时，取得最小值2． 故． 解法3：主元法，利用判别式 由得对任意的恒成立， 所以判别式， ， 即任意的恒成立， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 于是，所以，故． 【例2】设，若关于的不等式有解，则实数的值为( ) A、 B、 C、0 D、 【答案】 【解析】解法1：利用相切 表示两点，间的距离． 在直线上，在曲线上， 因为，如图， 且不等式有解，则， 此时，由，所以． 解法2：权方和不等式 由权方和不等式及得 当且仅当且时等号成立，． 【点睛】解法2用到了权方和不等式：(当且仅当时取等号)． 【例3】若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 【答案】 【解析】， 即恒成立，下面求的最小值． 解法1： 表示两点，间的距离，如图所示， 平移直线与相切，易得，所以． 解法2：， ， 当且仅当即时，等号成立，故． 两曲型 【例4】已知为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值_______． 【答案】． 【解析】点睛意到与互为反函数，图像关于直线对称， 故问题转化为：“已知为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．” 显然，的最小值是最小值的2倍． 平移直线与曲线相切， 易求得切点坐标为，点到直线的距离为， 则所求的最小值为． 【点睛】本题点睛意到与互为反函数，图像关于直线对称，将问题转化为类型1中的“一曲一直”型，平移直线或者利用切线不等式放缩均可解决问题． 【例5】设是曲线上的动点，是曲线上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】设，， 则 所以，当且仅当时，． 【点睛】． 综合应用 【例6】设．当变化时，的最小值为_______． 【答案】 【解析】解法1：几何意义导数 设，分别是函数，图象上的动点， 则． 点到抛物线的准线的距离， 等于点到焦点的距离，即，故． 所以， 当三点共线时取等号，故只需求的最小值． 记，则， 当时，；当时，， 所以，从而，当，时取等号． 【点睛1】解法1结合几何意义将目标转化为函数图像上的点与函数图