第29讲 等高线问题与导数中的整数解问题 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

第29讲 等高线问题 知识与方法 对于函数，若，则直线叫做函数的等高线．函数的等高线问题，一般涉及的参数较多，基本的处理策略是通过统一变量，化为一元函数来研究． 典型例题 【例1】已知函数，，若成立，则的最小值为( ) A、 B、 C、 D、 【例2】已知函数，，当对恒成立时，的最大值为，则_______． 【例3】已知函数，若，则的最大值为( ) A、 B、 C、 D、 【例4】已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为( ) A、 B、 C、 D、 【例5】 (多选)已知函数，的图象与直线分别交于两点，则( ) A、图象上任一点与曲线上任一点连线线段的最小值为 B、存在使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线 C、函数不存在零点 D、存在使得曲线在点处的切线也是曲线的切线 强化训练 1.已知函数，若存在互不相等实数，有，则的取值范围是_______，的取值范围是______________． 2.已知，若存在实数满足．且，则的取值范围为；的最大值为______________． 3.已知函数，，若，，则的最小值为( ) A、 B、 C、 D、 导数中的整数解问题 知识与方法 导数中整数解问题是一般含参问题的特殊化．可延用一般策略，但更常用半分离技术解决．通常情况下可利用半分离方法将问题转化为直线与曲线的位置关系，而直线过定点，只需将直线旋转即可得到临界位置，进而列出不等式(组)求出参数的取值范围． 整数解的问题，关键是找出相应的整数解，再求出参数的取值范围． 典型例题 【例1】设函数，其中，若存在唯一的正整数使得，则的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 【例2】已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则的取值范围是( ) A、 B. C. D. 【例3】已知函数 有两个零点 , 且存在唯一的整数 , 则实 数 的取值范围是 A. B. C. D. 【例4】已知函数 的导函数为 , 且对任意的实数 都有 (e 是自然对数的底数), 且 , 若关于 的不等式 的解集中恰有两 个整数, 则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 【例5】函数 , 其中 , 若有且只有一个整数 , 使得 , 则 的取值范围是（） A. B. C. D. 【例6】在关于的不等式 (其中 为自然对数 的底数 的解集中, 有且仅有一个大于 2 的整数,则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 强化训练 1.若不等式 在区间 内的解集中有且仅有三个整数, 则 实数 的取值范围是 ( ). A. B. C. D. 2.已知函数 , 若不等式 的解集中恰 有两个整数, 则实数 的取值范围是 . 3.已知函数 , 若关于 的方程 有且仅有两 个不同的整数解, 则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 4.已知函数 , 关于 的不等式 只有 2 个整数解, 则实数 的取值范围是 . 5.已知关于 的不等式 有且仅有两个正整数解 (其中 为自然对数的底数), 则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 6.已知函数 , 若 的解集中恰有一个整数, 则 的取值范围 为（） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲 等高线问题 知识与方法 对于函数，若，则直线叫做函数的等高线．函数的等高线问题，一般涉及的参数较多，基本的处理策略是通过统一变量，化为一元函数来研究． 典型例题 【例1】已知函数，，若成立，则的最小值为( ) A、 B、 C、 D、 【答案】 【解析】解法1：消元构造函数 由，可得，所以，令，则点睛意到，且在上单调递增，所以在单调递减，在单调递增． 所以．故的最小值为． 解法2：换元统一变量 令，，则，．所以． 令，则，，所以在上单调递增．观察知，则时，，单调递减；时，，单调递增．所以，所以的最小值为，故选． 解法3：平移图象 已知，，设， 设函数与的图象相切于点，则， 解得，即． 令，则． 所以为增函数，又， 于是函数有唯一零点， 因此．进而得． 故的最小值为． 【例2】已知函数，，当对恒成立时，的最大值为，则_______． 【答案】 【解析】对恒成立，即， 得，所以， 显然，于是． 因为的最大值(最大值大于函数的半个周期)， ∴或， 解得或(舍去)． 两种情况分别对应下图