第30讲 双参数最值问题与切线放缩 讲义-2023届高中数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

双参数最值问题 知识与方法 含参问题一直是高考中的重点与难点. 高考真题及模拟题中常出现“恒成立”为背景的 双参数的范围或最值问题. 处理此类问题, 常用有以下方法: 1 消元法 2 零点比大小法 零点比大小是指将函数 与函数 的零点比较大小, 进而解决问题. 图 象上看, 是观察直线 与曲线 的横截距的大小关系. 此方法要求 函数具有凹凸性, 可以解决形如“已知 (或 恒成立, 求 的最值”的问 题,一般有如下两种形式: (1) 若 恒成立, 为上凸函数, 如下左图, 则 ; (2) 若 恒成立, 为下凸函数, 如下右图, 则 . 由(1)或(2)得出 的大小,进而可以求得 的最值. 3. 赋值法 对比不等式与目标式的结构, 发现当自变量取某个值时恰好构造出目标式. 赋值法是零点比大小法方法的优化和改进,能快速解决线性表达式型、比值型的客观题 . 点睛意领会“等比例赋值法”进行恰到好处的赋值. 典型例题 【例1】 若 恒成立, 求 的最小值 . 【例2】若函数 在区间 上单调递增, 则 的最小值为 . 比值型 【例3】已知函数 , 若不等式 对 恒成立, 则 的最小值为 . 【例4】已知不等式 恒成立, 其中 为自然常数, 则 的最大值 为 . 乘积型 【例5】 若 恒成立, 求 的最大值. 【例6】已知函数 , 当实数 时, 对于 都有 恒成立, 则 的最大值为（） A. B. C. D. 强化训练 1.已知不等式 对一切正数 恒成立, 则 的最小值为 . 2.已知函数 , 若 恒成立, 则 的取值 范围是当 取得最小值时, . 3.已知不等式 对 恒成立, 则 的最大值为 . 4.若对于任意正实数 , 都有 (e 为自然对数的底数) 成立, 则 的最小值是 . 5.已知不等式 , 且 对任意实数 恒成立, 则 的最大值为（） A. B. C. D. 6.已知函数 , 若 时, 恒有 , 则 的最大值为（） A. B. C. D. e 7.设函数 , 若 恒成立, 则 的最大值为 . 8.已知 , 函数 ( 为自然对数的底数), 若存在一 条直线与曲线 和 均相切, 则 最大值是 . 切线放缩 知识与方法 1. 切线放缩 对于含有指数、对数或三角函数等超越式的函数或不等式问题, 有时我们可以利用导数 的几何意义进行以直代曲, 即考虑函数 图象上某点 处的切线 , 结合函 数的凹凸性进行切线放缩, 使问题便于解决. 特别地, 当 为下凸函数时, 则 ; 当 为上凸函数时, 则 . 两个不等式中等号成立的条件刚好是 . 将 放大或缩小为 , 得到 或 , (其中 为 在 处的切线 叫做切线放缩. 对某些求函数的最小值或证明不等式的问题, 巧用切线放缩, 会有意想不到的效果. 2. 常用的切线不等式 (1) . 【点睛】在 中, 将 换成 , 即得 ; 在 中, 将 换成 , 即得 ; 在 中, 将 换成 , 即得 ; 在 中, 将 换成 , 即得 . 典型例题 逆用求导法则型 【例1】 若 是实数, 是自然对数的底数, , 则 . 【例2】已知函数 , 若对任意的 恒成立, 则求实数 的 取值范围是 . 【例3】已知 成等比数列, 且 , 若 , 则（） A. B. C. D. 多变量轮换式的切线放缩 【例4】, 已知数列 满足 , 且满足 , 则 A. 有最大值 6030 B. 有最大值 6027 C. 有最小值 6027 D. 有最小值 6030 双参数最值的切线放缩 【例5】已知不等式 对一切正数 恒成立, 则 的最小值为 . 强化训练 1.已知函数 , 直线 与 的图象相切, 与 的 图象也相切, 则直线的 方程是 . 2.已知实数 满足 (e 为自然对数的底数), 则 的最小值是 . 3.函数 , 若 使得 , 则 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 双参数最值问题 知识与方法 含参问题一直是高考中的重点与难点. 高考真题及模拟题中常出现“恒成立”为背景的 双参数的范围或最值问题. 处理此类问题, 常用有以下方法: 1 消元法 2 零点比大小法 零点比大小是指将函数 与函数 的零点比较大小, 进而解决问题. 图 象上看,