第1讲 求通项公式 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第1讲 求通项公式 公式法 公式法:若判定出数列是等差数列或者等比数列,就直接带人等差数列或等比数列的通项公式或进行求解. 【例1】已知等差数列的前项和为,且满足,求数列的通项公式. 【例2】已知公比大于0的等比数列的前项和为是和的等差中项,求数列的通项公式. 累加法 累加法:如果递推公式的形式为,则可利用累加法求通项公式. 使用时要满足: (1)等号右边为关于的表达式,且能够进行求和. (2)的系数同构(结构相同),且为作差的形式. 【例1】数列满足:,且,求. 【例2】在数列中,已知,求数列的通项公式. 【例3】已知数列满足:,求数列的通项公式. 累乘法 累乘法:如果递推公式的形式为:,则可利用累乘法求通项公式. 【例1】已知数列满足:,且,求. 【例2】已知数列满足:1),求数列的通项公式. 【例3】数列满足:,求的通项公式. 构造法 构造法的核心步骤： 第一步:恒等变形.对递推公式(相邻几项的式子)进行恒等式变形,所谓恒等变形就是对等式两边的项进行同加、同减、同乘、同除或者拆分合并. 第二步:同构式.恒等变形的目的是变形出同构式,所谓同构式就是结构相同的式子,如:和是同构式. 第三步:整体代换.将同构式视为一个整体,整体代换后构造出新的等差数列或者等比数列,该数列作为辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式,以下是我们需要重点掌握的几种常见的构造法的结构. 结构一：一次函数结构型 递推公式的结构如同一次函数结构型:均为常数,且. 一般方法:设,得到,可得出数列是以为公比的等比数列,从而可求出. 【例1】在数列中,2,求数列的通项公式. 【例2】在数列中,1,试求其通项公式. 结构二:一次函数结构变形 递推公式的结构形如为常数. 一般方法:此类问题可先处理,两边同时除以,得,进而构造成,设,从而变成,从而将问题转化为一次函数结构型. 【例1】在数列中,,求数列的通项公式. 【例2】已知数列满足:,求数列的通项公式. 结构三:分式结构型 递推式的结构形如为常数,. 一般方法:两边取倒数后,得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于一次函数结构型. 【例1】设数列的前列项和为,已知,求数列的通项公式. 【例2】已知在数列中,,求证:是等比数列,并求数列的通项公式. 【例3】已知数列满足,且.证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式. 结构四:差式结构型 递推式的结构形如. 一般方法:可以考虑等式两边同时除以,转化为的形式,进而可设,递推公式变为,移项变形可得,若,则为等差数列,否则转变为一次函数结构型求解. 【例1】 已知在数列中,,且. 【例2】 在数列中,,求数列的通项公式. 结构五:三项递推结构 递推式的结构形如:. 一般方法:可根据两边项的系数对中间项拆分变形为:,得到同构式,整体代换后进行求解. 【例1】已知在数列中,,且,求. 【例2】已知在数列中,,. (1)求证:数列是等比数列. (2)求数列的通项公式. 相减消去法 题目中出现关于的关系式,求通项公式,这类题目经常考.利用,一方面可求出首项,另一方面可考虑将等式相减消去或转化为纯或纯的递推式,再利用上一讲中递推式的方法来求解,但这里要注意的是求出通项公式后还要对首项进行验证. 方法一：纯通项公式法 已知与的关系式为,消去的一般解题步骤如下: 第一步:类比出与的关系式,即. 第二步:两式作差,消去,剩下只的递推公式,即,按照前面所讲的方法根据递推公式,求解通项公式. 第三步:一定要注意最后检验是否满足用上面的方法求出的通项. 【例1】在数列中,已知,证明:数列是等比数列,并求出数列的通项公式. 【例1】 设数列的前项和为,已知,且,证明:为等比数列,并求数列的通项公式. 【例3】在数列中,,求数列的通项公式. 方法二:纯求通项法 已知与的关系式为,消去的解题步骤如下: 第一步:直接把带人,从而消去,即. 第二步:剩下只含的递推公式,按照前面所讲方法,根据递推公式,求解前项和公式. 第三步:再作差,得通项公式,一定要注意最后检验是否满足求出的通项. 【例1】已知数列的前项和为,,且当时,,求数列的通项公式. 【例2】已知数列的前项和,. (1)求证:数列为等差数列. (2)求数列的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 求通项公式 公式法 公式法:若判定出数列是等差数列或者等比数列,就直接带人等差数列或等比数列的通项公式或进行求解. 【例1】已知等差数列的前项和为,且满足,求数列的通项公式. 【解析】设数列的公差为,依题意得 解得. . 【例2】已知公比大于0的等比数列的前项和为是和的等差中项,求数列的通项公式. 【解析】设数列的公比为. 由题意知, 即, , , 累加法 累加法:如果递推公式的形式为,则可利用累加