第2讲 求前 n项和 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第2讲 求前项和 经过前面的学习,我们基本上可以求出数列的通项公式了,接下来就要讲解数列前项和的求解方法.数列求和的方法相对来说比较固定,能够总结出题型然后运用相应的解法即可,重点需要掌握的是错位相减、裂项相消和分组求和,大家也一定要注意适用的题型结构. 错位相减法 通项公式特征:数列通项公式是“”的形式,具备“等差等比”的特点,考虑利用错位相减法求出,具体方法步骤如下. 【例】已知,求前项和. (1)先将写成前项和的形式: . (2)等式两边同时乘以等比部分的公比,得到一个新的等式,与原等式上下排列. ,乘完公比后,对比原式项的次数,新等式的每项向后挪了一位. (3)然后两式相减:,除了首项与末项,中间部分呈等比数列求和特点,代人公式求和,再解出即可. 【例1】 设为数列的前项和,求. 【例2】已知数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 裂项相消法 通项公式特征:的表达式能够拆成形如的形式,在求和时可以进行相邻项(或相隔几项)的相消,从而结果只存在有限几项,最终达到求和目的,其中通项公式为分式和根式的情况居多. 裂项相消法求数列和的常见类型: (1)等差型:,其中数列是公差为的等差数列. (2)无理型:. （3）指数型:. (4)对数型:.如以为例,求前项和. (1)裂项:考虑这里. (2)求和:设的前项和为. ,求和的关键在于确定剩下的项,通过观察可发现正项中没有消去,负项中没有消去. . 一般来说,裂开的项中有个正项,个负项,且由于消项的过程中是成对消掉,所以剩余项中正负的个数应该相同. 【例1】 设,求数列的前项和. 【例2】设,求数列的前项和. 【例3】若数列求数列的前项和. 【例4】已知，求数列的前项和. 分组求和法 分组求和:如果通项公式是前几种可求和形式相加或者相减,那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和,然后再将结果相加. 【例1】 令,求数列的前项和. 【例2】已知:正项数列的前项和为. (1)求数列的通项公式. (2)令,求数列的前项和. 倒序相加法 题型结构:已知函数,求与函数相关的数列的和,其中. 一般解题步骤: 第一步:倒序.把的顺序倒过来,即 第二步:找到前后对应项之和,通常为常数,即. 第三步:把上述两式相加求和,再除以2即可. 【例1】 函数对任意的都有,数列满足,求数列的通项公式. 【例2】已知函数. (1)求和的值. (2)记,求. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 求前项和 经过前面的学习,我们基本上可以求出数列的通项公式了,接下来就要讲解数列前项和的求解方法.数列求和的方法相对来说比较固定,能够总结出题型然后运用相应的解法即可,重点需要掌握的是错位相减、裂项相消和分组求和,大家也一定要注意适用的题型结构. 错位相减法 通项公式特征:数列通项公式是“”的形式,具备“等差等比”的特点,考虑利用错位相减法求出,具体方法步骤如下. 【例】已知,求前项和. (1)先将写成前项和的形式: . (2)等式两边同时乘以等比部分的公比,得到一个新的等式,与原等式上下排列. ,乘完公比后,对比原式项的次数,新等式的每项向后挪了一位. (3)然后两式相减:,除了首项与末项,中间部分呈等比数列求和特点,代人公式求和,再解出即可. 【例1】 设为数列的前项和,求. 【解析】 所以 (1)式一(2)式得 【例2】已知数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 【解析】(1)当时,,解得. 当时, ① ,② ①式-②式得, 解得,易知也符合前式. 综上所述,. (2)依题意得. 下面先求数列的前项和. , (1)式－(2)式得 , 即 , 化简可得. . 裂项相消法 通项公式特征:的表达式能够拆成形如的形式,在求和时可以进行相邻项(或相隔几项)的相消,从而结果只存在有限几项,最终达到求和目的,其中通项公式为分式和根式的情况居多. 裂项相消法求数列和的常见类型: (1)等差型:,其中数列是公差为的等差数列. (2)无理型:. （3）指数型:. (4)对数型:.如以为例,求前项和. (1)裂项:考虑这里. (2)求和:设的前项和为. ,求和的关键在于确定剩下的项,通过观察可发现正项中没有消去,负项中没有消去. . 一般来说,裂开的项中有个正项,个负项,且由于消项的过程中是成对消掉,所以剩余项中正负的个数应该相同. 【例1】 设,求数列的前项和. 【解析】 【例2】设,求数列的前项和. 【解析】 ∴数列的前项和为 【例3】若数列求数列的前项和. 【解析】 【例4】已知，求数列的前项和. 【解析】 分组求和法 分组求和:如果通项公式是前几种可求和形式相加或者相减,那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和,然后再将结