第7讲 向量法解决中点、中线问题 第8讲 已知图形解三角形 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第7讲 向量法解决中点、中线问题 向量法:在中,角的对边分别为,已知点是边的中点,则通常会利用向量,平方后解决中线相关的问题,即 【例1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为.已知点是边的中点,若,求. 【例2】已知的三个角的对边分别为,点为边的中点,,求面积的最大值. 【例3】的角所对的边分别为.已知,点为边的中点,且,求的最大值. 第8讲 已知图形解三角形 这一类题目求解的核心在于找到三角形,判定是否满足“知三求三”.所谓“知三求三”就是已知三角形中的三个量来求解其他三个量,如果不满足上述条件,就需要找图形中的边角关系,来列方程求解,“知三求三”的情况如下. 1.AAS/ASA:已知两角与一边,由及,可先求出角及,再求出. 2.SAS:已知两边及其夹角,由,先求出,再求出角.3.SSS:已知三边,由余弦定理可求出角. 4.ASS:已知两边及其中一边的对角,由正弦定理可求出另一边的对角,由,可求出角,再由可求出.通过求角时,可能有一解或两解或无解的情况. 在中,已知和角时,解的情况如下表所示. 注意:上表中为锐角时,,无解;为钝角或直角时,均无解. 求值 【例1】如下图所示,在中,点在边上,. (1)求. (2)若的面积为,求. 【例2】如下图所示,在中,角,的对边分别是, ,点在线段上,满足. (1)求角的大小. (2)若,求的值. 基本不等式求最值 【例1】如下图所示,在中,角,对应的边分别为,点在边上,且. (1)若,求的长. (2)若,求面积的最大值. 【例2】如下图所示,在平面四边形中,的平分线与交于点,且. (1)求及的长. (2)若,求四边形周长的最大值. 【例3】如下图所示,四边形的四个顶点共圆,,. (1)求和的值. (2)求四边形的周长的最大值. 函数法 典型例题 【例1】在如下图所示的四边形中,已知,,设点到的距离为. (1)求用表示的解析式. (2)求的最大值. 【例2】如下图所示,已知在中,角所对的边分别为,满足. (1)求角B的大小. (2),在直线的右侧取点,使得.当角为何值时,四边形面积最大? 【例3】如下图所示,在四边形中,2,记.当为何值时,的面积有最小值?并求出最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 向量法解决中点、中线问题 向量法:在中,角的对边分别为,已知点是边的中点,则通常会利用向量,平方后解决中线相关的问题,即 【例1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为.已知点是边的中点,若,求. 【解析】点是边的中点,, .将代入上式,整理得. 解得(舍去). 由余弦定理得 【例2】已知的三个角的对边分别为,点为边的中点,,求面积的最大值. 【解析】 即,当且仅当时,等号成立. 当且仅当时,取等号. 面积的最大值为. 【例3】的角所对的边分别为.已知,点为边的中点,且,求的最大值. 【解析】 第8讲 已知图形解三角形 这一类题目求解的核心在于找到三角形,判定是否满足“知三求三”.所谓“知三求三”就是已知三角形中的三个量来求解其他三个量,如果不满足上述条件,就需要找图形中的边角关系,来列方程求解,“知三求三”的情况如下. 1.AAS/ASA:已知两角与一边,由及,可先求出角及,再求出. 2.SAS:已知两边及其夹角,由,先求出,再求出角.3.SSS:已知三边,由余弦定理可求出角. 4.ASS:已知两边及其中一边的对角,由正弦定理可求出另一边的对角,由,可求出角,再由可求出.通过求角时,可能有一解或两解或无解的情况. 在中,已知和角时,解的情况如下表所示. 注意:上表中为锐角时,,无解;为钝角或直角时,均无解. 求值 【例1】如下图所示,在中,点在边上,. (1)求. (2)若的面积为,求. 【解析】(1)在中,设, , 又, 由余弦定理得。 , 即， 解得. . 此时为等边三角形, . (2), 解得. 则. 如下图所示,作交于. 由(1)知,在等边中,,, 在Rt中, . 在中,由正弦定理得, . 【例2】如下图所示,在中,角, 的对边分别是, ,点在线段上,满足. (1)求角的大小. (2)若,求的值. 【解析】(1)由正弦定理得, , . 又. . . ,解得. (2), 为等边三角形.设,则, 在中,由余弦定理得9,解得. 基本不等式求最值 【例1】如下图所示,在中,角,对应的边分别为,点在边上,且. (1)若,求的长. (2)若,求面积的最大值. 【解析】(1), . 在中,设,由余弦定理得. 在和中,由余弦定理得 整理得. 由(1)(2)式得. (2), , 由 面积的最大值为. 【例2】如下图所示,在平面四边形中,的平分线与交于点,且. (1)求及的长. (2)若,求四边形周长的最大值. 【解析】(1)在中,由正弦定理得 . 又,则, . , , . 在中,根据