第9讲 立体几何中的平行证明 讲义——2023届高三数学二轮专题复习

第9讲 证明平行 中位线证明平行 【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面为平行四边形,点分别为的中点,交于点.证明:平面平面. 【例2】如下图所示,在正四棱锥中,点为的中点.证明:平面. 【例3】如右图所示,四边形是菱形,点分别是,的中点.证明:平面BDEF//平 面. 平行四边形证明平行 典型例题 【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面为平行四边形,点分別为的中点.证明:平面. 【例2】如下图所示,在多面体中,是正方形,,点为棱边的中点.证明:平面平面. 【例3】如下图所示,在四棱锥中,平面,点是的中点. (1)证明:. (2)证明:平面. (3)若点是线段上一动点,则线段上是否存在点,使平面?说明理由。 性质定理证明平行 典型例题 【例1】如下图所示，在四棱锥中,,点为的中点.证明:平面. 【例2】如下图所示,点是以为直径的圆上异于的一点,四边形是直角梯形,其中.证明:平面. 【例3】如下图所示,已知在直三棱柱中,点是的中点,点是的中点.证明:平面. 【例4】如下图所示,在四棱锥中,底面为平行四边形,点是的中点,在上取一点,过点和作平面,交平面于,点在线段上.证明:. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 证明平行 中位线证明平行 【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面为平行四边形,点分别为的中点,交于点.证明:平面平面. 【解析】四边形为平行四边形,点分别为的中点,交于点,, . 又平面平面, 平面. 又是的中位线, . 又平面平面, 平面. 平面平面, , 平面平面. 【例2】如下图所示,在正四棱锥中,点为的中点.证明:平面. 【解析】证明：如下图所示,连接,交于点,连接. 四棱锥为正四棱锥, 四边形为正方形. 点为的中点. 点为的中点, 为的中位线.. 平面平面, 平面. 【例3】如右图所示,四边形是菱形,点分别是,的中点.证明:平面BDEF//平 面. 【解析】证明：点分别是的中点, . 又平面平面, 平面. 如右图所示,连接,交于点,连接, 四边形为菱形, 为的中点. 又为的中点,. 平面平面, 平面. 又平面,平面平面. 平行四边形证明平行 典型例题 【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面为平行四边形,点分別为的中点.证明:平面. 【解析】证明：如下图所示,取的中点,连接. 点分别为和的中点,,且. 四边形为平行四边形,且点为的中点, . ,且. 四边形为平行四边形,. 又平面平面, 平面. 【例2】如下图所示,在多面体中,是正方形,,点为棱边的中点.证明:平面平面. 【解析】证明：如下图所示,连接,交于点, 点,为的中点. 连接,由点为棱边的中点可知,. 平面平面, 平面. , 四边形为平行四边形,. 又平面平面, 平面. 又, 平面平面. 【例3】如下图所示,在四棱锥中,平面,点是的中点. (1)证明:. (2)证明:平面. (3)若点是线段上一动点,则线段上是否存在点,使平面?说明理由。 【解析】证明：(1)在四棱锥中, 平面平面, 平面平面, . (2)如下图所示,取的中点,连接, 是的中点, . 又由(1)题知, 由已知有, . 四边形是平行四边形,. 平面平面, 平面. (3)如下图所示,取的中点,连接, 点分别为的中点, . 平面平面, 平面. 由(2)题知平面, 平面平面. 点是线段上的动点,平面CEN, 平面. 线段上存在点,使平面PAB. 性质定理证明平行 典型例题 【例1】如下图所示，在四棱锥中,,点为的中点.证明:平面. 证明：如下图所示,取的中点,连接. 又为的中点, . 又平面平面, 平面. . 又, 四边形是平行四边形. .平面平面, 平面. ,且平面,平面, 平面平面. 平面, 平面. 【例2】如下图所示,点是以为直径的圆上异于的一点,四边形是直角梯形,其中.证明:平面. 【解析】证明：如下图所示,取的中点,连接. 在中,点是的中,点,点是的中点, . 平面平面EMO, 平面EMO.在直角梯形中,, 则, 四边形MCDE是平行四边形, ,同理平面. 又, 平面平面, 又平面, 平面. 【例3】如下图所示,已知在直三棱柱中,点是的中点,点是的中点.证明:平面. 【解析】证明：如下图所示,取的中点,连接, 分别为的中点, . , 平面平面. 平面, 平面. 【例4】如下图所示,在四棱锥中,底面为平行四边形,点是的中点,在上取一点,过点和作平面,交平面于,点在线段上.证明:. 【解析】证明：如下图所示,连接,交于点,连接. 四边形是平行四边形, 是的中点. 又是的中点, . 又平面平面, 平面. 又平面,平面 平面, . 学科网（北京）股份有限公司 $