第10讲 证明垂直 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第10讲 证明垂直 证明垂直,一般通过降维的手段,最终归结为证明线线垂直.线线垂直是问题的核心,具体线线垂直的证明方式总结如下. （1）共面直接证明 1.勾股定理:在中,,则. 2.三线合一:在中,是的中点,则. 3.矩形:找到或者证明一个四边形是矩形,则可得邻边相互垂. （2）性质定理转化证明 1.线面垂直:若要证明的直线为异面直线,通常转化为线面垂直,利用线面垂直的性质证明线线垂直 2.面面垂直：若题目中给了面面垂直，通常是要找到两平面交线和垂直于交线 的直线，利用面面垂直性质转化为线面垂直. 勾股定理证明垂直 【例1】如下图所示,在三棱柱中,.证明:平面. 【例2】如下图所示,在四棱锥中,平面,四边形是平行四边形,是边长为的等边三角形,.证明:平面. 【例3】如下图所示,已知在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,侧棱,过点的平面与侧棱分别相交于点,且满足.证明:平面. 【例4】如下图所示,在四棱锥中,平面,点在线段上,且平面.证明:平面平面. 三线合一证明垂直 【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面是正方形,若.证明:平面平面. 【例2】如下图所示,在三棱柱中,,点为的中点,.证明:平面平面. 性质定理证明垂直 【例1】如下图所示,在三棱柱中,,平面平面.证明:平面平面. 【例2】如下图所示,底边是正方形,平面平面.证明:平面平面. 特殊四边形证明垂直 【例1】如下图所示,在三三棱柱中,底面是等边三角形,侧面为菱形,且平面平面,点为棱的中点.证明:平面. 【例2】如下图所示,在直四棱柱中,底面是菱形,分别为的中点.证明:平面. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 证明垂直 证明垂直,一般通过降维的手段,最终归结为证明线线垂直.线线垂直是问题的核心,具体线线垂直的证明方式总结如下. （1）共面直接证明 1.勾股定理:在中,,则. 2.三线合一:在中,是的中点,则. 3.矩形:找到或者证明一个四边形是矩形,则可得邻边相互垂. （2）性质定理转化证明 1.线面垂直:若要证明的直线为异面直线,通常转化为线面垂直,利用线面垂直的性质证明线线垂直 2.面面垂直：若题目中给了面面垂直，通常是要找到两平面交线和垂直于交线 的直线，利用面面垂直性质转化为线面垂直. 勾股定理证明垂直 【例1】如下图所示,在三棱柱中,.证明:平面. 【解析】证明：如下图所示,连接. 由可得为等边三角形. , , . 又, 且平面, 平面. 【例2】如下图所示,在四棱锥中,平面,四边形是平行四边形,是边长为的等边三角形,.证明:平面. 【解析】证明：平面,且,平面. 在Rt中,, . 在Rt中,. . 四边形是平行四边形, . 平面平面, . 又, 平面. 【例3】如下图所示,已知在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,侧棱,过点的平面与侧棱分别相交于点,且满足.证明:平面. 【解析】证明：(1)如下图所示,连接,. ,连接. . 又底面是菱形,. 平面.. 又. 由已知条件得. 由余弦定理得,., . 与相交,且都在平面AEMF内, 平面. 【例4】如下图所示,在四棱锥中,平面,点在线段上,且平面.证明:平面平面. 【解析】证明：如下图所示,连接交于点,连接. 平面平面,平面平面, . 由知,. 又. . 在中,,由余弦定理得,即,故,. 平面平面, . 又平面. 又平面, 平面平面PAD. 三线合一证明垂直 【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面是正方形,若.证明:平面平面. 【解析】证明：如下图所示,取的中点为,连接. . , . 在正方形中, . , 为直角三角形且. , 平面. 平面, 平面平面. 【例2】如下图所示,在三棱柱中,,点为的中点,.证明:平面平面. 【解析】证明：如下图所示,取的中点为,连接,则. 在中,, . , 平面. 平面, . 根据已知,, 又, ., 平面. 又平面, 平面平面. 性质定理证明垂直 【例1】如下图所示,在三棱柱中,,平面平面.证明:平面平面. 【解析】证明： ∵ 且四边形 为平行四边形, 四边形为菱形.. 又平面平面, 平面平面, 平面. 又平面, 平面平面. 【例2】如下图所示,底边是正方形,平面平面.证明:平面平面. 【解析】证明： ∵平面平面 ， 平面平面, 平面, 平面. 平面, . 又四边形是正方形, . 平面, 平面, 平面. 又平面, 平面平面. 特殊四边形证明垂直 【例1】如下图所示,在三三棱柱中,底面是等边三角形,侧面为菱形,且平面平面,点为棱的中点.证明:平面. 【解析】证明：设的中点为与的交点为,连接,如下图所示. 由为的中点可得. 又平面平面,平面平面, 平面. 又为的中点, 且. 又且, 且. 因此四边形为平行四边形, 且, 平面. 又四边形为菱形, . 又平面, 平面, 平面.