第11讲 求值问题（1） 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第11讲 求值问题（1） 在立体几何中,通常会涉及求角度和距离的问题.对于求角度问题,如果学过空间向量可以快速地解决这类问题,这里讲的求角度问题是按照一般的方法求解的,不涉及空间向量,所以可以把它作为一个思维拓展来学习. 求体积 求体积时我们需要找合理的高和底面,带入体积公式,当然有时候我们无法直接求解,需要进行一些转换,通常有四种解法:直接转化法、顶点转移法、割补法和同底缩放法.具体看下面例题,要在解题过程中慢慢总结出自己的方法. 方法一:直接转化法 直接转化法:证明或者找到一组线面垂直关系,选择线面垂直的线作为高,线面垂直的面作为底,带入锥体体积公式求解. 【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点为的中点. (1)求证:平面. (2)求四棱锥的体积. 【例2】如下图所示,在三棱锥中,平面平面为等边三角形,且,点,点分别为的中点. (1)求证:平面平面. (2)求三棱锥的体积. 【例3】如右图所示,在四棱锥的底面四边形中,,在中,,平面平面. (1)证明:平面. (2)若为线段的中点,求三棱锥的体积. 方法二:顶点转移法 顶点转移法: 第一步:找线面平行或面面平行.在求锥体体积时,找到与底面平行的直线或者平面,该直线或者平面包含着顶点. 第二步:顶点转移.利用线面平行或者面面平行距离相等的性质实现顶点转移,从而得到可直接求解的高线. 第三步:带入体积公式.求出底面积,求出高线,代入体积公式,即可求出锥体体积. 【例1】如下图所示,在六面体中,四边形是边长为4的正方形,,平面平面.求三棱锥的体积. 方法三:割补法 割补法:若所求几何体的体积不容易直接求解出来,就通过切割组合的方式,先分别求出标准几何体体积,然后再通过组合切割的方式求解. 【例1】如下图所示,四棱锥中,底面,点,点分别为的中点,.求三棱锥的体积. 【例2】如下图所示,已知四边形和均为平行四边形,点在平面内的射影恰好为点,以为直径的圆经过点的中点为点的中点为点,且. (1)求证:平面平面. (2)求几何体的体积。 【例3】如下图所示,四棱锥的侧面是正三角形,,且,点是的中点. (1)求证:平面. (2)若平面平面,且,求多面体的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 求值问题（1） 在立体几何中,通常会涉及求角度和距离的问题.对于求角度问题,如果学过空间向量可以快速地解决这类问题,这里讲的求角度问题是按照一般的方法求解的,不涉及空间向量,所以可以把它作为一个思维拓展来学习. 求体积 求体积时我们需要找合理的高和底面,带入体积公式,当然有时候我们无法直接求解,需要进行一些转换,通常有四种解法:直接转化法、顶点转移法、割补法和同底缩放法.具体看下面例题,要在解题过程中慢慢总结出自己的方法. 方法一:直接转化法 直接转化法:证明或者找到一组线面垂直关系,选择线面垂直的线作为高,线面垂直的面作为底,带入锥体体积公式求解. 【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点为的中点. (1)求证:平面. (2)求四棱锥的体积. 【解析】(1)证明为的中点, , 平面平面, 平面平面, 平面. (2), . . 【例2】如下图所示,在三棱锥中,平面平面为等边三角形,且,点,点分别为的中点. (1)求证:平面平面. (2)求三棱锥的体积. 【解析】(1)证明：为的中点, . 平面平面, 平面平面, 平面, 平面.平面, 平面平面. (2)且, 点.为的中点, . 又平面, . 【例3】如右图所示,在四棱锥的底面四边形中,,在中,,平面平面. (1)证明:平面. (2)若为线段的中点,求三棱锥的体积. 【解析】(1)证明如右图所示,取的中点,连接. 在中,,则为等边三角形. 点为的中点,. 平面平面,平面平面平面, 平面. 平面. , 平面.在四边形中,且四边形为平行四边形. 平面. (2)由(1)题知,四边形为平行四边形. , 四边形为正方形,. 是边长4为等边三角形. 平面到平面的距离. 平面, 平面平面. 两点到平面的距离相等,均为. 又为线段的中点,到平面 的距离. 由(1)题知,平面, 又平面. 方法二:顶点转移法 顶点转移法: 第一步:找线面平行或面面平行.在求锥体体积时,找到与底面平行的直线或者平面,该直线或者平面包含着顶点. 第二步:顶点转移.利用线面平行或者面面平行距离相等的性质实现顶点转移,从而得到可直接求解的高线. 第三步:带入体积公式.求出底面积,求出高线,代入体积公式,即可求出锥体体积. 【例1】如下图所示,在六面体中,四边形是边长为4的正方形,,平面平面.求三棱锥的体积. 【解析】平面平面, 平面. 点到平面的距离等于点到平面的距离. . 如下图所示,取的中点,连接. , 平面平面, 平面. 棱锥的高. , .