第12讲 立体几何中的求值问题（2） 讲义——2023届高三数学二轮专题复习

第12讲 求值问题（2） 【例4】如下图所示，三棱柱中，分别为的中点. (1)求证:面. (2)若面面为正三角形,,求四棱雉的体积. 方法四:同底缩放法 同底缩放法:通常线段上含有等分点时,我们可以找到一个相同的底,按等分点找到高的比例关系,通过等分比缩放求解析体积. 【例1】如下图所示,在四棱雉中,平面,四边形是平行四边形,. (1)求证:平面. (2)若点是的中点,求三棱锥的体积. 【例2】如下图所示,在四棱雉中,平面.四边形为直角梯形,. (1)求证:平面. (2)求三棱雉的体积。 【例3】如下图所示,在四棱雉中,底面是梯形,,点为边的中点. (1)求证:平面. (2)求三棱锥的体积. 求点面距离 求点到平面的距离. 等体积法:先计算出四面体的体积,然后计算出的面积,利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离. 【例1】 如下图所示,在四棱雉中,底面是正方形,底面,,求点到平面的距离. 【例2】如下图所示,在四棱雉中,平面,点为的中点,求点到平面的距离. 求夹角 几何法求夹角,一般要有三个步骤. 一做:做辅助线,找到夹角. 二证:证明夹角就是所求角度. 三算:要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解,利用勾股定理和正余弦定理来求解相关角度. 注意:作二面角的平面角可以通过垂线法进行,在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角. 【例1】如下图所示,在三棱柱中,侧棱底面,且底面是边长为2的正三角形,侧棱长为1,点是的中点. (1)求证:平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求二面角的大小。 【例2】如下图所示,在四棱雉中,是等边三角形,平面,且,点为的中点. (1)求证:平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【例3】 如下图所示，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直,与的交点为,且. (1)求证:平面. (2)求直线与平面所成角正切值. 【例4】如右图所示，直三棱柱中,,点,点分别为,的中点. (1)求证:平面. (2)已知与平面所成的角为,求二面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 求值问题（2） 【例4】如下图所示，三棱柱中，分别为的中点. (1)求证:面. (2)若面面为正三角形,,求四棱雉的体积. 【解析】(1)证明)如下图所示,连接. 点,点分别为的中点.在三棱柱中, , . 四边形为平行四边形. . 平面平面, 面. (2)为正三角形,点为的中点, . 平面平面, 平面平面, 平面. 为三棱柱的高. 为正三角形, . , . 方法四:同底缩放法 同底缩放法:通常线段上含有等分点时,我们可以找到一个相同的底,按等分点找到高的比例关系,通过等分比缩放求解析体积. 【例1】如下图所示,在四棱雉中,平面,四边形是平行四边形,. (1)求证:平面. (2)若点是的中点,求三棱锥的体积. 【解析】（1）证明在中，由于, . . 平面平面, . , 平面PAD. (2)由已知可得,, 三棱锥的体积为 . 是的中点, . 三棱锥的体积为 . 【例2】如下图所示,在四棱雉中,平面.四边形为直角梯形,. (1)求证:平面. (2)求三棱雉的体积。 【解析】(1)证明如下图所示,连接交于,连接. 在底面四边形中, . 又, . . 可得. 则. 平面平面, 平面CAN. (2), , 则. 而, 三棱锥的体积. 【例3】如下图所示,在四棱雉中,底面是梯形,,点为边的中点. (1)求证:平面. (2)求三棱锥的体积. 【解析】(1)证明如下图所示,取的中,点,连接, 是的中点,为的中点,则且. ,且. 且. 四边形MNAB是平行四边形. . 又平面平面PAD, 平面PAD. (2)如下图所示,取的中点,连接,取的中点,连接. 是的中点, . 为的中点,. 在梯形中,,点为的中点, . 又,则四边形为矩形, ,且. . 为等腰直角三角形,且. , . 在中,由余弦定理得 . . , 平面. . 三棱锥的体积为. 求点面距离 求点到平面的距离. 等体积法:先计算出四面体的体积,然后计算出的面积,利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离. 【例1】如下图所示,在四棱雉中,底面是正方形,底面,,求点到平面的距离. 【解析】 . 依题知为三棱锥的高, 三棱锥的体积为 . ,解得. 点到平面的距离为. 【例2】如下图所示,在四棱雉中,平面,点为的中点,求点到平面的距离. 【解析】设点到平面的距离为,过点作于点. 平面,点为的中点, 点到平面距离为, . 解得. 点到平面的距离为. 求夹角 几何法求夹角,一般要有三个步骤. 一做:做辅助线,找到夹角. 二证:证明夹角就是所求角度. 三算:要把直线与平面所成的角转化到一